Но n может оказаться полным квадратом и тогда, когда p не нуль. Попробуем рассмотреть все возможные случаи. Положим n = r2 (r нечетно). Соотношение
r2 = ар + b дает
r2 − b2 = ар.
Положим r + b = 2u, r − b = 2v (r и b нечетны). Отсюда получаем 4uv = ар.
Поскольку r = u + v, где r нечетно, получаем, что u и v не могут быть числами одинаковой четности, так что одно из них четно, а другое нечетно. Так как а является степенью двойки, то нечетный сомножитель относится к p. Выявим его, полагая р = s2t, где s нечетно, a t ≥ 1 (p четно).
Напомним, что а = 2k. В этих обозначениях 4uv = ар = s2k+t, uv = s2k+t−2.
Возможные решения для пары u, v имеют вид пар
s'2k+t-2, s''
где s's" = s.
Покажем сначала, что s" — меньший из этих двух элементов пары. Вследствие t ≥ 1 имеем k − t ≤ k + t − 2.
Вследствие p < а последовательно выводим
s2t < 2k,
s's"2t < 2k.
s's" < 2k-t ≤ 2k+t-2 ≤ s'22k+t-2
(потому что s' нечетен и не меньше 1).
Следовательно, нужно взять u = s'2k+t-2, v = s".
Покажем теперь, что нужно обязательно взять s' =1, s" = s. По выбору u и v
b = 2k+t−2s' − s" < а = 2k.
Отсюда получаем:
s" > 2k+t−2s' − 2k,
и, так как t ≥ 1:
s" > 2k−1s' − 2k,
s = s's" > 2k−1s'2 − 2ks = 2k−1s' (s' − 2).
Вследствие р = s2t < а = 2k выводим s < 2k−t ≤ 2k−1.
Объединим два полученных неравенства:
2k−1s' (s' − 2) < x < 2k−1, поэтому s' (s' − 2) < 1.
Единственное нечетное число s', удовлетворяющее этому соотношению, это s' = 1. Следовательно, у нас остается единственная возможность:
u = 2k+t-2, v = s,
b = u − v = 2k+t-2 − s < а = 2k,
s > 2k+t-2 − 2k.
Так как s < 2k−t, то t должно быть таким, чтобы
2k−t > 2k+t-2 − 2k.
Поскольку t должно быть строго положительно, то его единственными возможными значениями являются t = 1 и t = 2.
При t = 1 имеем
p = 2s, b = 2k−t − s = a/2 − p/2.
Следовательно, если 2b = а − p, то n — квадрат числа (а + p)/2 = а − b.
При t = 2 имеем
p = 4s, b = 2k − s = a − p/4.
Следовательно, если p = 4(a − b), то n — квадрат числа a + p/4 = 2а − b.
Этим исчерпываются случаи, когда n может быть полным квадратом.
Можно спросить себя, могут ли эти различные случаи действительно осуществляться. Заметим, что при вступлении в цикл у нас b = 1, a = 4. После этого b может быть изменено добавлением а, т. е. кратным числа 4. Следовательно, b остается сравнимым с 1 по модулю 4. В трех возможных случаях: