Игра 22.
Вот шкала весов, предложенная А.-П. де Лоашем в книге Шварца [SCHJ:
0: отрезок замыкает проигрывающий треугольник,
1: отрезок замыкает треугольник, две стороны которого принадлежат моему противнику,
2: отрезок замыкает смешанный треугольник (одна из сторон которого — моя, а другая — моего противника),
3: отрезок соединяет две смешанных вершины (из каждой из них выходит и моя сторона, и сторона моего противника),
4: отрезок соединяет смешанную вершину и вершину, из которой выходит только одна сторона,
5: отрезок соединяет две вершины, каждая из которых принадлежит только одному отрезку, который провел именно я,
6: отрезок соединяет две вершины, каждая из которых принадлежит только одному отрезку, один из которых провел я, а другой — мой противник,
7: отрезок соединяет две вершины, которые не принадлежат проведенным мною отрезкам,
8: отрезок проходит через «чистую» (еще не использованную) вершину,
9: отрезок соединяет чистую вершину с вершиной, не принадлежащей моим отрезкам,
10: отрезок соединяет две чистые вершины.
Можно немного упростить этот список, не увеличивая сколько-нибудь серьезно опасность проиграть.
Игра 23.
Мы приводим список выигрывающих позиций, подразумевая при этом, что если S (р, q) выигрывает, то выигрывает и S (р, q') для всех q', не превосходящих q. Выберем, для каждого р наибольшее возможное для него значение q.
3,1 5,2 8,3 11,1 13,6 16,1 18,2
21,10 24,1 26,2 29,3 32,1
34,16 37,1 39,2 42,3 44,1 47,6 50,1
Игра 24.
Мне кажется, что лучше оценивать комбинацию, вычисляя число черных шашек, а затем число появлений каждого цвета в этой комбинации и, наконец, сумму по всем различным цветам меньших (из значений в обеих комбинациях) чисел, получаемых в сравниваемых комбинациях (это число равно сумме числа белых и черных шашек). Вы сохраняете число появлений каждого цвета в каждой уже испытанной комбинации в таблице с двумя индексами.
Для каждой новой комбинации предложение некоторого цвета в некоторой позиции ведет к следующему:
— для черных шашек вы можете осуществить сравнение с той же позицией в другой комбинации;
— для множества белых + черных шашек: вы получаете еще и другие появления этого цвета, и у вас хранится число появлений этого цвета в других комбинациях.
Поэтому вы можете немедленно остановить испытание с цветом x в положении i, если:
либо эта комбинация дает слишком много черных шашек по сравнению с другой комбинацией,
либо она еще не дает черных шашек в тот момент, когда остается ровно столько позиций, сколько нужно для создания тех черных шашек, которые остается получить,
либо она дает слишком много белых шашек,
либо она не производит достаточно белых шашек в тот момент, когда остается ровно столько позиций, сколько нужно.
Все это означает, что вместо того, чтобы предлагать новую комбинацию всю целиком, а затем сравнивать ее с уже полученными, вы действуете, перебирая позицию за позицией, и каждое делаемое в этой позиции предложение немедленно интерпретируется для всех уже изученных комбинаций.
Когда мы оказываемся заблокированными, нужно возвращаться назад. Нетрудно скорректировать число появлений рассматриваемых цветов. Нужно переоценить уже полученные числа белых и черных шашек. Вы действуете при этом путем пересчитывания вклада данного цвета в рассматриваемую позицию.
5. Стратегия без игры (выигрывающие стратегии)
Игра 27.
Рассмотрим игру НАДЕВАТЬ. В начале на игровом поле ничего нет. Можно играть только на поле, которое следует эа первым занятым полем, а такого поля нет. Играем на поле 1.
На следующем ходе было бы глупо снимать только что выставленную шашку. Первое занятое поле — первое. Ставим шашку на поле 2. Первое занятое поле — это снова первое поле. Было бы глупо снимать только что выставленную шашку, и поэтому нужно играть на первом поле, т. е. освобождать его. Теперь первое свободное поле — это поле 2. Было бы глупо возвращать на поле 1 только что снятую шашку. Следовательно, поставим шашку на поле 3. Никакого выбора…