Р (n − 1, 3 − а − d, а) n на а, n − 1 на а
Н (n − 2, d, а).
Предположим, что искомое свойство четности выполняется для n − 1. Тогда остается заниматься только теми дисками, которые ложатся на диск n.
В первой операции диск n − 1 находится на диске n, они разной четности, и, таким образом, здесь свойство четности выполняется. Во время игры Н(n − 2, а, 3 − а − d) диск n находится на стержне, который для этой игры является запасным. Диски, которые в этой игре ложатся в основание этого стержня — и потому ложатся на диск n — имеют четность, противоположную четности числа n − 2, следовательно, четность, противоположную четности n, что и проверяет на этом этапе наше условие четности. Вы легко завершите это рассуждение.
Разобранный пример хорошо иллюстрирует тесную связь между рекурсивностью и рекуррентностью, которые представляют собою не что иное, как две немного отличающиеся реализации одного и того же рассуждения.
Игра 33.
Предположите, что в Н (n − 1, d, а) диск 1 перемещается всегда в одном и том же направлении. Для Н (n, d, а) вы должны выполнить
Н (n − 1, d, 3 − а − d)
Н (n − 1, 3 − а − d, а).
Вместо того, чтобы непосредственно переходить от d к а, вы осуществляете этот переход с помощью стержня 3 − а − d, иначе говоря, вы делаете два перемещения в обратном направлении. Диск 1 продолжает перемещаться всегда в одном и том же направлении, но это направление меняется при переходе от n − 1 к n. Для n = 1 этот диск перемещается в направлении от d к а. Это всегда будет так для всех нечетных n, в то время как для четных n он будет перемещаться в направлении от а к d.
Простое итеративное решение имеет следующий вид: исходя ив четности n определите направление перемещения диска 1. Начните с 2n − 1 число ходов, которые осталось сделать:
s := ЕСЛИ четно (n) ТО 2 ИНАЧЕ 1 КОНЕЦ_ЕСЛИ
d := 0; k:= 2n − 1
ВЫПОЛНЯТЬ
а := d + s; ЕСЛИ a > 2 ТО а := а − 8
КОНЕЦ_ЕСЛИ
переместить диск 1 с d на а;
d : = a; k := k − 1
ЕСЛИ k = 0 TO КОНЧЕНО КОНЕЦ_ЕСЛИ
переместить единственный диск, который можно переместить, кроме диска 1
k := k − 1
ВЕРНУТЬСЯ
Все диски имеют общее свойство: нечетные диски перемещаются в том же направлении, что и диск 1, а четные диски — в другом направлении.
В вышеприведенной программе стратегия совершенна с точки зрения исполнения вручную, потому что в каждый данный момент сразу видно, какой диск нужно переместить, если это не самый маленький диск (меньший из двух остальных дисков перемещается на больший). В нашей программе вам нужно вычислить это движение. Один из наиболее простых способов состоит в том, чтобы представить игру с помощью вектора, дающего для диска i номер стержня, на котором он находится. Диск, подлежащий перемещению — это наименьший Диск, который находится не на том же стержне, что и диск 1, следовательно, номер стержня которого отличается от d. Этот самый диск перемещается со стержня, на котором он находится — с номером x — на стержень 3 − x − d.
Обозначим первое перемещение через 1. Поскольку диск 1 перемещается один раз в каждой паре ходов (точнее, перемещается через ход), то он перемещается в каждый нечетный ход. По индукции покажите, что диск p перемещается в ходы с номерами, которые делятся на 2р−1, но не делятся на 2p (т. е. являются нечетными кратными числа 2p−1).
Номер k любого хода может быть единственным способом представлен в виде
k = (2r + 1)2р-1.
Перемещаемый на этом ходе диск есть диск с номером p, и это — его (r + 1)-е перемещение. Так как он начинает движение со стержня 0 и перемещается в направлении sp (1, если р нечетно, и 2 в противном случае), то на этом ходе диск перемещается с rsp-го на (r + 1)sр-й стержень, где эти числа берутся по модулю 3.