□Aμ = -4πjμ/c
где знаком □ обозначена конструкция д/дх2 + д/дy2 + д/дz2 — 1/с2 д/дt2, называемая оператором Д’Аламбера, jμ — четырехвектор плотности тока: jo = r — плотность заряда, j1, j2, j3 — плотность тока. Что изменилось? Уравнений стало четыре — по одному для каждого значения μ. Слева к сумме вторых производных по пространственным координатам добавилась еще производная по времени, но с противоположным знаком и квадратом скорости света в знаменателе. Итак, имеем четыре уравнения для четырехкомпонентного поля, в каждом уравнении слева сумма вторых производных по четырем координатам. Почему всего тут по четыре? Потому, что специальная теория относительности делает наш мир существенно четырехмерным, только время надо брать с коэффициентом 1/с и знаком минус. Все физические вектора по сути четырехмерны, например, четвертой компонентой для импульса частицы является энергия. Получается, если записывать уравнения Максвелла в естественном для нашего мира четырехмерном представлении, они становятся удивительно простыми.
Чем линейная теория отличается от нелинейной
«Линейная теория» — жаргон, так же как и «нелинейная теория», но в науке этот термин используется часто. Первая описывается линейными дифференциальными уравнениями, вторая, естественно, нелинейными. Различие между ними огромно как с точки зрения техники решения, так и с точки зрения мира описываемых явлений.
Линейное дифференциальное уравнение состоит из производных неизвестной функции и самой неизвестной функции в первой степени. Первая степень позволяет складывать решения и умножать их на произвольную константу — то, что получится, всё равно будет решением. Мир линейных уравнений оказывается простым: можно суммировать поля от разных источников, можно разлагать сложные конфигурации на простые (типа плоских волн) и рассматривать эволюцию каждой из них по отдельности. Волны, описываемые линейными уравнениями, спокойно проходят друг через друга, складываясь в интерференционную картину, и расходятся, ничуть не изменившись. Линейный мир прост, но неинтересен — в нем не получишь сложных стабильных структур.
Достаточно ввести в уравнение квадрат неизвестной функции или ее произведение на ее же производную — и мир меняется. Сумма решений уже не является решением, волны уже не проходят спокойно друг через друга, а взаимодействуют, появляются новые сущности, та кие как солитоны. Кстати, протоны и нейтроны в некоторых упрощенных моделях сильных взаимодействий появляются именно как солитоны, а описывающая их теория, квантовая хромодинамика, существенно нелинейна.
Часто бывает так, что возмущения какой-либо среды описываются линейными уравнениями, пока они остаются малыми. Как только их амплитуда становится большой, проявляется нелинейность. Пример — обычные волны на поверхности воды. Рябь линейна с хорошей точностью, а большие океанские волны уже нелинейны из-за сложной аэро- и гидродинамики. Отсюда и получается знаменитый девятый вал и «волны-убийцы». Гравитационные волны тоже линейны, когда они слабые, а когда, например, сливаются две черных дыры, нелинейность переменного гравитационного поля чудовищна. Самая распространенная причина нелинейности — взаимовлияние. Например, сливаются два автомобильных потока. Если они редкие, машины продолжают двигаться стой же скоростью, потоки просто суммируются. Если потоки интенсивные, машины начинают мешать друг другу, скорость падает зачастую до нуля. Это и есть нелинейный эффект. Все варианты самоорганизации в живой и неживой природе — тоже результат нелинейности. Можно сказать, что эволюция -очень длинная цепь нелинейных эффектов.
12.1. И. Айвазовский. Нелинейная волна
Но в этой главе речь идет в основном не об электромагнитном поле, а о гравитации. Нельзя ли сделать с гравитацией то же самое? Добавим к гравитационному потенциалу еще три компоненты (появится еще гравимагнитное поле, которое мы не чувствуем из-за слабости земной гравитации), и пусть они подчиняются точно такому же уравнению, только справа поставим плотность энергии и поток импульса, помноженные на гравитационную постоянную. Со специальной теорией относительности будет всё в порядке. Получится то, что можно было бы назвать «векторной гравитацией». Вышла бы очень простая теория. Уравнения, как и уравнения Максвелла, были бы линейными, гравитационное поле от разных источников было бы суммой полей каждого. Автору не хватает фантазии представить себе, как вела бы себя в таком мире мощная гравитация, но можно точно сказать, что ничего похожего на черные дыры в таком мире не существовало бы.