Такова плата за геометричность теории гравитации, или, другими словами, за ее универсальность и всеобщность. Выражения стали сложными, хотя теория минимальна — все ее модификации могут быть только сложнее. Зато в теории появились чудеса, такие как черные дыры или нестационарная вселенная.
Эйнштейн, конечно, пришел к этим уравнениям совсем другим путем, и на этом пути немалую роль сыграл Гильберт, мы просто постарались набросать естественную логическую цепочку, ведущую к общей теории относительности через более простые конструкции.
12.2. Явление, непосредственно связанное с одним из решений общей теории относительности, найденных аналитически (решение Керра для вращающейся черной дыры): джет ядра галактики М87. Это релятивистская струя замагниченной плазмы, индуцируемая непосредственно вращающейся черной дырой, погруженной во внешнее магнитное поле. Именно эта черная дыра, возможно, будет первой, которую удастся «разглядеть» с помощью микроволновых космических интерферометров. На данном снимке для этого не хватает пяти порядков по разрешению. Снимок космического телескопа «Хаббл» (NASA)
Разумеется, уравнения Эйнштейна решать сложно. В общем случае они поддаются только численному перемалыванию на суперкомпьютерах. Аналитические решения, не сводящиеся к малым поправкам для ньютоновского тяготения, можно пересчитать по пальцам. Из решений, наверняка имеющих отношение к реальности, это черные дыры Шварцшильда (не вращающиеся), вращающиеся черные дыры Керра, гравитационные волны, однородная изотропная вселенная Фридмана и де Ситтера. Есть аналитические решения, представляющие, скорее, академический интерес — заряженные черные дыры, однородная анизотропная вселенная и еще несколько. Есть много решений, описывающих кротовые норы с разными уравнениями состояния вещества. Имеют ли они отношение к реальности, пока не известно.
Нас интересуют уравнения для однородной изотропной вселенной, каковой является наша. Это самый простой случай. Из-за однородности и изотропии в уравнениях выпадают все производные gμν по координатам, остаются только производные по времени. Тензор энергии импульса становится диагональным, по диагонали стоят ε, -р, -р, -р, где ε — плотность энергии, р — давление. Метрический тензор при этом выражается всего через два параметра — масштабный фактор a(t) и кривизну трехмерного пространства k/R(t). При этом к определяет знак кривизны (k = 1 для замкнутой вселенной, k = -1 для открытой и k = 0 для плоской), a R(t) — радиус кривизны вселенной. Первое уравнение Эйнштейна (с индексами 0, 0) принимает вид:
(ȧ/a)2 = 8πGε/3 — κ/R(t)2,
где — ȧ производная масштабного фактора по времени, a R(t) пропорционален масштабному фактору: R(t) = Ro·a(t). Это и есть уравнение Фридмана, описывающее однородную изотропную вселенную. Оно получено только из первого (0, 0) уравнения Эйнштейна, но остальные уравнения либо нулевые, либо ему тождественны. Напомним, в простейшей модели Вселенной знак трехмерной кривизны определяет ее судьбу: если k > 0, то за расширением последует сжатие («закрытая» Вселенная); если k < 0 («открытая» Вселенная), то расширение будет вечным; если k = 0 («плоская» Вселенная), то скорость расширения со временем будет стремиться к нулю. Сейчас мы знаем, что величина R настолько велика, что влияние члена k/R2 на динамику Вселенной незаметно на довольно хорошем уровне точности. Раньше ее влияние было еще меньше, поэтому для дальнейшего анализа последний член в уравнении Фридмана можно отбросить.