Рис. 13.1. Ход расширения пространства в зависимости от уравнения состояния содержимого вселенной. По горизонтали — время, выраженное в единицах 1/H0, где H0 — постоянная Хаббла в момент t = 0. По вертикали — десятичный логарифм масштабного фактора. Центральная красная линия — вакуумное уравнение состояния p = -ε, ему соответствует точная экспонента. Снизу от нее идут кривые для р = -0,9ε, -0,97ε, -0,99ε (в порядке приближения к экспоненте). Сверху, соответственно, идут кривые для р = -1,1ε, -1,03ε,-1,01ε, что соответствует фантомной энергии
Как решаются самые простые дифуры
Поскольку автор намерен помочь читателям (хотя бы тем, которые помнят что-нибудь о производных) всерьез разобраться, откуда берется ускоренное расширение Вселенной и как работает механизм космологической инфляции, на данной врезке подробно объяснено, откуда берутся приведенные в тексте решения уравнения Фридмана. Первое, что нужно знать, как выглядит производная степной функции у = хβ (β — любое фиксированное число). Вот так: dy/dx = βхβ-1. Уравнение Фридмана для нулевой кривизны с учетом уравнения состояния и при использовании безразмерного времени (выраженного через постоянную Хаббла) выглядит так:
da/dt = aα,
где а — масштабный фактор, а зависит от уравнения состояния вселенной. Решение ищется в виде
а = c(t+t0)β,
где с и t0 — константы. Подставляем в уравнение Фридмана:
βc(t+t0)β-1 = cα(t+t0)αβ
Понятно, что степени у переменной справа и слева должны быть равны:
β-1 = αβ,
откуда
β = 1/(1-α)
и
с = (1/β)β
На константу t0 пока не обращаем внимания. Обратить внимание надо на случай a = 1, когда b обращается в бесконечность. В этом случае исходное уравнение превращается в
da/dt = а.
Это не только самое простое, но и самое знаменитое дифференциальное уравнение, описывающее размножение нейтронов при ядерном взрыве или бактерий в благоприятной среде. Его решение
a = et
основано на свойстве экспоненты оставаться самой собой при дифференцировании. Однако, предметом разбирательства остается переход между экспоненциальным и степенным решением. Он из соображений здравого смысла должен быть плавным, а из формул этого не видно. Здесь надо вспомнить про константу t0. Добавим ее так, чтобы решение при t = 0 совпадало с экспоненциальным. Надо получить а = 1 при t = 0 и для этого взять t0 = β:
a = (1/β)β(t + β)β = (1+t/β)β
А теперь надо вспомнить определение числа е и убедиться, глянув в учебник или «Википедию», что последнее выражение при b стремящемся к бесконечности (что происходит, когда а стремится к 1 из-за того, что уравнение состояния вселенной стремится к вакуумному), стремится к et . Решения для значений а близких к 1 (или больших значений Ь) показаны в логарифмическом масштабе на рис. 13.1.
14. Великое объединение наук
Космология возникла как наука о самом гигантском: космос, галактики, миллиарды световых лет, миллиарды лет времени. Но уже более полувека назад она бы не смогла сдвинуться с места без ядерной физики: почему образовалось столько-то гелия и столько-то дейтерия; горячей родилась Вселенная или холодной; если горячей, то какова ее нынешняя температура? Все эти вопросы решались с таблицами данных по ядерной физике.
В первые мгновения своего существования Вселенная была настолько плотной и горячей, что состояла из частиц, которые сейчас в свободном виде в природе не существуют, — мы знаем об этих частицах только благодаря современной физике микромира, опирающейся на данные, добытые с помощью ускорителей частиц. И, наоборот, то, что мы наблюдаем в мощнейшие телескопы — оптические и микроволновые, — косвенным образом дает важнейшую информацию для физики микромира. Никакой теоретик по физике частиц не может безнаказанно ввести в теорию новую сущность: сразу надо проверять, не дает ли она каких-либо неприемлемых последствий в космологии, например, повлияв на уравнение состояния Вселенной в какой-то момент.