Воррен Ґольдштейн
Додаток 1
Стегнові кістки ссавців
Логічно припустити, що маса ссавця пропорційна його розміру. Наприклад, порівняймо цуценя із дорослим собакою, який у чотири рази більший. Я припускаю, що в собаки всі лінійні розміри — висота і довжина тіла, довжина й товщина лап, об’єм голови тощо — у чотири рази більші, ніж у цуценяти. У такому разі об’єм (а отже, й маса) собаки приблизно дорівнює масі цуценяти, помноженій на 64.
Щоб краще собі це уявити, візьмімо куб зі сторонами a, b і c. Об’єм цього куба дорівнює a · b · c. Якщо збільшити всі сторони в чотири рази, об’єм стане 4a · 4b · 4c, тобто 64abc. Висловлюючись більш математичною мовою, можна сказати, що об’єм (а отже, й маса) ссавця пропорційний його довжині в третьому степені. Якщо дорослий собака в чотири рази більший за цуценя, його об’єм має бути приблизно в 43, тобто в 64 рази більший. Отже, якщо ми позначимо довжину стегнової кістки l і будемо порівнювати ссавців різного розміру, їхня маса повинна бути приблизно пропорційна l3.
Добре, це була маса. Далі: міцність стегнової кістки, яка несе на собі всю цю вагу, має бути пропорційною її товщині, правильно? Що товщі кістки, то більше навантаження вони витримують — це зрозуміло інтуїтивно. Якщо виразити це математично, міцність стегнової кістки пропорційна площі її перерізу. Його форма близька до кола, і ми знаємо, що площа кола дорівнює πr2, де r — радіус кола. Таким чином, площа пропорційна d2, якщо d — діаметр кола.
Позначимо товщину стегнової кістки d (від «діаметр»). Виходячи із припущення Галілея, маса ссавця мала б бути пропорційна d2 (щоб кістки витримували вагу тварини), але також вона пропорційна l3 (це справедливо завжди, незалежно від припущення Галілея). Таким чином, якщо він мав рацію, d2 має бути пропорційне l3, а це те саме, що сказати, що d пропорційне l3/2.
Якщо порівнювати двох ссавців, один з яких у п’ять разів більший за другого (а отже, довжина його стегнової кістки l приблизно в п’ять разів більша), можна очікувати, що товщина його стегнової кістки d приблизно в 53/2 = 11 разів більша. На лекції я показав, що стегнова кістка слона приблизно в 100 разів довша за мишачу. Тому, якщо Галілей не помилявся, ми можемо очікувати, що вона буде приблизно в 1003/2 = 1000 разів товща, ніж кістка миші.
Таким чином, у дуже масивних тварин товщина кістки дорівнюватиме довжині, або навіть стане більшою, і ми отримаємо зовсім не пристосованих до життя ссавців. Це могло б пояснити, чому максимальний розмір ссавців обмежений.
Додаток 2
Закони Ньютона в дії
Закон всесвітнього тяжіння можна записати таким чином:
де Fтяж — це сила взаємного притягання між тілами масою m1 і m2, а r — відстань між ними; G — коефіцієнт, який має назву гравітаційна стала.
Закони Ньютона дозволили обчислити, принаймні в принципі, масу Сонця та деяких планет.
Погляньмо, як це можна зробити. Я почну із Сонця. Припустімо, що m1 — це маса Сонця, а m2 — це маса планети (будь-якої). Вважатимемо, що орбіта планети — коло радіуса r, і позначмо T період обертання планети навколо Сонця (для Землі T становить 365,25 дня, для Меркурія — 88 днів, а для Юпітера — майже 12 років).
Якщо орбіта має форму кола або дуже близька до нього (а це так для п’яти із шести планет, відомих у XVII столітті), темп обертання планети постійний, але напрямок її швидкості весь час змінюється. Утім коли напрямок швидкості тіла змінюється, навіть якщо її значення залишається незмінним, це вже буде рух із прискоренням, а отже, згідно із другим законом Ньютона, має бути сила, яка надає тілу цього прискорення.