Ця сила має назву доцентрової (Fдц), і вона завжди спрямована від рухомої планети до Сонця. Звісно, Ньютон не був би Ньютоном, якби не з’ясував, як обчислити цю силу (я виводжу цю формулу під час лекції). Значення доцентрової сили дорівнює
де υ — швидкість руху планети. Але ця швидкість дорівнює окружності орбіти 2πr, поділеній на час T, за який планета робить повний оберт навколо Сонця. Отже, ми можемо записати формулу так:
Звідки береться ця сила? Яке її походження? Ньютон зрозумів, що це має бути гравітаційне притягання Сонця. А отже, дві сили у наведених вище формулах — це одна й та сама сила; вони рівні:
Якщо ще трохи погратися із цією формулою, переставивши змінні (для вас це нагода освіжити шкільні знання з алгебри), ми отримаємо масу Сонця:
Зверніть увагу, що у формулі (5) уже немає маси планети (m2). Її вже можна не розглядати. Нам потрібна тільки середня відстань від планети до Сонця та період її обертання T. Хіба вас це не дивує? Урешті-решт, m2 є у формулах (1) і (2). Але наявність маси планети в обох формулах якраз і є причиною того, що коли ми зрівнюємо Fтяж та Fдц, змінна m2 виключається. У цьому вся краса цього методу, і цим ми завдячуємо серу Ньютону.
Із формули (5) випливає, що співвідношення r3/T2 однакове для всіх планет. Попри те що вони перебувають на зовсім різній відстані від Сонця та мають цілком різні періоди обертання, значення r3/T2 для всіх однакове. Це дивовижне відкриття зробив німецький астроном і математик Йоганнес Кеплер ще в 1619 році, задовго до Ньютона. Але ніхто не міг бодай якось пояснити, чому це співвідношення (куба радіуса до квадрата періоду обертання) постійне. Лише геніальний Ньютон через 68 років показав, що це випливає з його законів.
Таким чином, якщо нам відома відстань від будь-якої планети до Сонця (r), період обертання планети (T) і гравітаційна стала (G), ми можемо за допомогою формули (5) обчислити масу Сонця (m1).
Періоди обертання планет з високою точністю були відомі задовго до XVII століття. Відстані від планет до Сонця також було давно визначено з високою точністю, але тільки у відносному вимірі. Інакше кажучи, астрономи знали, що середня відстань від Венери до Сонця становить 72,4 відсотка відстані від Землі до Сонця, а Юпітер перебуває у 5,2 раза далі від Сонця, ніж Земля. Проте абсолютні значення цих відстаней — це вже зовсім інша історія. У XVI столітті, за часів великого данського астронома Тихо Браге, вважалося, що відстань від Землі до Сонця у 20 разів менша, ніж насправді (це приблизно 150 мільйонів кілометрів). На початку XVIІ століття Кеплер отримав точніший результат, але він усе одно був у сім разів менший за реальну відстань.
Як видно із формули (5), маса Сонця пропорційна кубу його відстані (до планети), тому якщо відстань r буде в сім разів менша за реальну, маса Сонця буде менша за фактичну в 73, тобто у 343 рази — не надто цінний результат.
Поступ стався в 1672 році, коли італійський учений Джованні Кассіні виміряв відстань від Землі до Сонця із точністю приблизно 7 відсотків (для тих часів вражаючий результат), а отже, для r3 похибка була лише майже 22 відсотки. Похибка для G становила, очевидно, мінімум 30 відсотків. Тому припускаю, що на кінець XVIІ століття маса Сонця могла бути визначена з точністю не менше ніж 50 відсотків.
Оскільки відносні відстані від Сонця до планет були відомі досить точно, знаючи абсолютну відстань від Сонця до Землі із точністю до 7 відсотків, у кінці XVIІ століття можна було обчислити абсолютні відстані від Сонця до решти п’яти відомих планет із тією самою точністю.
За допомогою описаного вище способу обчислення маси Сонця можна також визначити масу Юпітера, Сатурна і Землі. Було відомо, що всі ці планети мають супутники. У 1610 році Галілео Галілей відкрив чотири супутники Юпітера, які зараз називають Галілеєвими супутниками. Якщо m1 — маса Юпітера, а m2 — маса одного з його супутників, ми можемо обчислити масу Юпітера за допомогою формули (5), так само, як і масу Сонця, тільки r у цьому випадку — відстань між Юпітером і його супутником, а T — період обертання цього супутника навколо Юпітера. Чотири Галілеєві супутники (загалом їх у Юпітера 63!) мають періоди обертання 1,77 дня, 3,55 дня, 7,15 дня і 16,69 дня.