Із часом відстані та гравітаційну сталу G виміряли значно точніше. На початок ХІХ століття похибка для значення G становила приблизно 1 відсоток. Похибка для прийнятого зараз значення становить майже 0,01 відсотка.
Розгляньмо конкретний приклад. За допомогою формули (5) обчислимо разом масу Землі (m1), скориставшись орбітою Місяця (маса якого m2). Щоб отримати правильний результат, відстань r потрібно перевести в метри, а період T — у секунди. Тоді якщо ми візьмемо значення G 6,673 · 10−11, то одержимо масу в кілограмах.
Середня відстань до Місяця (r) дорівнює 3,8440 · 108 метрів (384 400 кілометрів). Період його обертання (T) становить 2,3606 · 106 секунд (27,32 дня). Якщо підставити ці числа у формулу (5), отримаємо результат 6,030 · 1024 кілограмів. Найточніше на сьогодні значення маси Землі приблизно дорівнює 5,974 · 1024 кілограмів, що лише на 1 відсоток менше за те, яке я обчислив. Звідки різниця? По-перше, формула, якою ми скористалися, виходить із того, що орбіта Місяця має форму кола, тоді як насправді вона видовжена, або еліптична. У результаті мінімальна відстань до Місяця становить приблизно 363 000 кілометрів, максимальна — майже 406 000 кілометрів. Звісно, закони Ньютона можна спокійно застосовувати і для еліптичних орбіт, але від тієї математики у вас може закипіти мозок. Можливо, це вже сталося!
Є ще одна причина, чому наші обчислення дали не зовсім точний результат. Ми припустили, що Місяць обертається навколо Землі по колу і що центр цього кола збігається із центром Землі. А отже, у рівностях (1) і (3) ми прийняли за r відстань між Землею та Місяцем. Це справедливо для рівності (1), проте, як ішлося в розділі 13, як Місяць, так і Земля обертаються навколо спільного центра мас системи Місяць‒Земля, розташованого приблизно на 1600 кілометрів нижче земної поверхні. Тому значення r у рівності (3) трохи менше, ніж у рівності (1).
Живучи на Землі, ми можемо обчислити масу своєї планети іншими способами. Один з них — виміряти прискорення вільного падіння біля її поверхні. Будь-яке тіло з довільною масою m, якщо відпустити його з висоти, падатиме із прискоренням g, яке приблизно дорівнює 9,82 метра на секунду у квадраті23. Середній радіус Землі — майже 6,371 · 106 метра (6371 кілометр).
А тепер повернімося до формули (1). Оскільки F = ma (за другим законом Ньютона), тоді
де r — радіус Землі. Знаючи, що G = 6,673 · 10−11, g = 9,82 метра на секунду у квадраті, а r = 6,371 · 106 метрів, ми можемо обчислити mЗемлі в кілограмах (спробуйте самі!). Якщо трохи спростити рівність (6), отримаємо:
У мене mЗемлі становить 5,973 · 1024 кілограмів (вражає, правда?).
Зверніть увагу, що у формулі (7) уже відсутня маса скинутого тіла m. У цьому немає нічого дивного, адже маса Землі ніяк не може залежати від маси тіла, яке на неї скинули.
Вам також може бути цікаво знати, що, на думку Ньютона, середня густина Землі становить 5000‒6000 кілограмів на кубічний метр. Це не було висновком з якихось астрономічних спостережень і не мало жодного стосунку до котрогось із його законів; це була просто гіпотеза. Насправді середня густина Землі становить 5540 кілограмів на кубічний метр. Якщо дозволите записати припущення Ньютона як 5500 ± 500 кілограмів на кубічний метр, то похибка його результату складає лише 10 відсотків (дивовижно!).
Не знаю, чи сучасники Ньютона сприйняли його припущення за правду, але припустімо, що так. У XVII столітті радіус Землі вже був відомий, тому в ті часи можна було б обчислити її масу із точністю до 10 відсотків (маса — це об’єм, помножений на густину). Тоді можна було б за допомогою формули (7) обчислити G із такою самою точністю. Я розповідаю про це, бо мене захоплює думка, що якби сучасники зважили на гіпотезу Ньютона про середню густину Землі, уже в кінці XVII століття було б можливо визначити гравітаційну сталу G із точністю до 10 відсотків.
23 До речі, на екваторі це прискорення на 0,18 відсотка менше, ніж на полюсах — тому що форма Землі неідеальна. На екваторі порівняно з полюсами тіла віддалені від центра Землі приблизно на 20 кілометрів більше, тому значення g там менше. Згадані 9,82 метра на секунду у квадраті — це середнє значення.