Галілей, який помер за рік до народження Ньютона, запропонував ранню версію закону інерції та зміг математично описати рух багатьох тіл. Також він з’ясував, що всі тіла, скинуті з однієї висоти, падатимуть з однаковою швидкістю (за відсутності опору повітря). Проте він не зміг пояснити, чому це так. Йоганн Кеплер сформулював основні закономірності руху планет уздовж орбіти, але не розумів, чому вони так рухаються. Це пояснив Ньютон. І, як ми побачили, ці відповіді та більшість наслідків з них ніяк не можна назвати інтуїтивними.
Сили руху викликають у мене безмежний захват. Гравітація супроводжує нас усюди. Вона пронизує Всесвіт. І що найвражаюче — утім не лише це — вона діє на відстані. Ви колись замислювалися над тим, що наша планета залишається на орбіті, а ми всі живі завдяки силі притягання між двома небесними тілами, віддаленими одне від одного на 150 мільйонів кілометрів?
Рух маятників
Попри те що сила тяжіння повсюдно присутня в нашому житті, її прояви в природі часто заганяють нас у глухий кут. За допомогою досліду з маятником я дивую студентів тим, як дія гравітації суперечить нашим уявленням. Усе відбувається так.
Можливо, більшість із вас вважає, що коли гойдатися на гойдалці поруч зі значно легшою людиною, наприклад дитиною, ви рухатиметеся повільніше за неї. Але насправді це не так. Тому вас може здивувати, що час, за який маятник здійснює одне коливання (який називають періодом коливань маятника), не залежить від ваги підвішеного тіла (це тіло має назву тягарець). Зверніть увагу, що тут ідеться про так званий математичний маятник, тобто мають виконуватися дві умови. По-перше, тягарець має бути важчим за підвіс, щоб вагою останнього можна було знехтувати. По-друге, він має бути достатньо маленьким, щоб його можна було вважати просто точкою, яка не має розмірів8. Зробити математичний маятник нескладно: прив’яжіть яблуко до кінця тонкої нитки, довжина якої хоча б у чотири рази більша за розміри яблука.
На занятті я за допомогою законів руху Ньютона виводжу формулу для обчислення періоду коливань математичного маятника, а потім експериментально її перевіряю. Для цього мені потрібно припустити, що маятник відхиляється від центрального положення на невеликий кут. Дозвольте уточнити, що я маю на увазі. Якщо ви поглянете, як гойдається ваш саморобний маятник, — справа наліво, а потім зліва направо — ви побачите, що більшість часу він рухається ліворуч або праворуч. Утім у кожному повному циклі маятник двічі зупиняється, а потім змінює напрямок. Це відбувається, коли кут між ниткою і вертикаллю досягає максимального значення, яке називають амплітудою маятника. Якщо опором повітря (тертям) можна знехтувати, цей максимальний кут, на який відхиляється маятник, буде однаковий з обох боків. Формула, яку я виводжу, годиться тільки для невеликих кутів (невеликих амплітуд). У фізиці такий спосіб виведення називають малокутовим наближенням. Студенти завжди запитують: «Невеликий кут — це скільки?». Одна студентка навіть запитала дуже конкретно: «Амплітуда 5 градусів невелика? Рівняння ще виконується для кута 10 градусів, чи це вже великий кут?». Звісно, це чудові запитання, і я пропоную перевірити їх одразу.
Виведена формула досить проста і дуже елегантна, хоч і може трохи налякати тих, хто давно не мав справи з математикою:
де T — це період коливання маятника (у секундах); L — довжина нитки (у метрах); π дорівнює 3,14, а g — це прискорення вільного падіння (9,8 метра на секунду у квадраті). Отже, права частина читається так: два π, помножене на квадратний корінь довжини нитки, поділеної на прискорення вільного падіння. Я не зупинятимусь на доведенні цієї формули (за бажання ви можете переглянути запис лекції, на якій я її виводжу; посилання на відео — трохи далі в тексті).
Я наводжу це рівняння, щоб ви зрозуміли, як точно його підтверджують результати моїх дослідів. Згідно із формулою, період коливання маятника, нитка якого завдовжки 1 метр, — приблизно 2 секунди. Я фіксую час, за який маятник з ниткою такої довжини зробить 10 коливань, і отримую приблизно 20 секунд. Поділивши цей час на 10, одержуємо період 2 секунди. Потім я переходжу до маятника з коротшою в чотири рази ниткою. Згідно із формулою, період буде вдвічі меншим. Тож я вкорочую нитку до 25 сантиметрів, і маятник справді робить 10 коливань за майже 10 секунд. Результати дуже обнадійливі.