Если пользоваться языком, употребительным в современных биографиях знаменитостей, то 1857 год следует также назвать «годом прорыва» Римана. Его диссертация 1851 года ныне рассматривается как классический математический труд XIX столетия, но в момент своего появления она не привлекла большого внимания, несмотря на энтузиазм, который выказал Гаусс. Другие работы, написанные Риманом в начале 1850-х годов, не получили широкой известности и были опубликованы в доступном для публики виде только после его смерти. Относительная известность, которую он вообще приобрел, пришла к нему благодаря содержанию его лекций, но и тут таилась сложность: значительная часть этого содержания слишком опережала время, чтобы ее должным образом оценили. Однако в 1857 году Риман опубликовал работу по анализу, немедленно получившую признание как существенный вклад в эту науку. Она называлась «Теория абелевых функций».[15] В ней он обратился к актуальным проблемам, применив остроумные и новаторские методы. За год или два его имя стало известно математикам по всей Европе. В 1859 году он стал ординарным профессором[16] в Геттингенском университете; эта должность наконец принесла ему достаточные средства, чтобы жениться. Женился он три года спустя на Элизе Кох, подруге своей старшей сестры.
11 августа того же 1859 года, незадолго до своего 33-летия, Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук. Основанием для принятия его в ряды академии послужили те две единственные работы Римана, которые пользовались известностью, — диссертация 1851 года и работа 1857 года по абелевым функциям. Избрание в члены Берлинской академии наук было огромной честью для молодого математика. По традиции, новоизбранный член представлял в академию оригинальную работу по теме своих исследований. Работа, которую представил Риман, называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse).
Математика после этого уже никогда не была прежней.
Глава 3. Теорема о распределении простых чисел
Итак, сколько же имеется простых чисел, не превышающих некоторую заданную величину? Очень скоро мы это узнаем, но сначала — пятиминутное повторение на тему простых чисел.
Возьмем положительное целое число — для примера, 28. Какие числа делят его нацело? Ответ таков: 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Эти числа называются делителями числа 28. Будем говорить, что «28 имеет шесть делителей».
Разумеется, каждое число делится на 1; и каждое делится само на себя. Так что единица и само число — не слишком интересные делители. Если использовать слово, которое математики очень любят, — это «тривиальные» делители. Интересные же делители в нашем случае — это 2, 4, 7 и 14. О них говорят как о собственных делителях.
Получаем, что у числа 28 четыре собственных делителя. Но у числа 29 собственных делителей нет вовсе. Ничто не делит число 29 нацело, кроме, конечно, 1 и 29. Это — простое число. Простое число — это такое, у которого нет собственных делителей.
Приведем все простые числа, не превосходящие 1000.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311
313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457
461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569
571 577 587 593 599 601 607 613
617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719
727 733 739 743 751 757 761 769
773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881
883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997
Как видно, их 168. В этот момент обычно раздаются возражения, что в список простых чисел не включена единица. Разве единица не удовлетворяет определению? Ну, строго говоря, да — удовлетворяет, и закоренелые педанты могут для своего собственного удовлетворения вписать «1» в начало списка. Однако включение 1 в список простых чисел — серьезная помеха, и современные математики по взаимному согласию этого просто не делают. (Последним из крупных математиков, кто такое делал, был Анри Лебег в 1899 году.) На самом деле даже включение двойки — тоже помеха; однако присутствие 2 в конце концов себя окупает, а присутствие 1 — нет, так что мы ее выбрасываем, и все.
15
16
Используя уже утвердившийся у нас американизм — «полным профессором». В этих же терминах «экстраординарный профессор» — это