Рассмотрим пример. Возьмем правило «вычислить 5×5×5×5×… — выражение, содержащее N пятерок».
| N | 5N |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 25 |
| 3 | 125 |
| 4 | 635 |
Видите, как аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, в то время как значения каждый раз увеличиваются путем умножения на 5? Это показательная функция. Аргументы увеличиваются «по сложению», а значения — «по умножению».
Я для удобства выбрал вариант, когда аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, и буду придерживаться его и далее. Для данной конкретной функции это приводит к умножению аргумента на 5. Разумеется, в числе 5 нет ничего специального. Можно было бы выбрать функцию, в которой множитель равен 2, или 22, или 761, или 1,05 (что, кстати, дало бы таблицу накопления сложных процентов при ставке в 5%), или даже 0,5. В каждом из случаев мы получим показательную функцию. Вот почему я сказал, что имеется некоторое «семейство функций».
Еще один термин, который математики обожают, — «канонический вид». В ситуации, подобной данной, когда имеется явление (в нашем случае — показательная функция), которое может проявляться многими различными способами, есть, вообще говоря, один способ, которым математики желают представить все явление. В данном случае вот какой. Есть одна показательная функция, которую математики предпочитают всем остальным. Если бы вы принялись угадывать, то, наверное, предположили бы, что это та функция, в которой множителем является число 2 — самое простое в конце концов, на что можно умножить. Но нет! Канонический вид показательной функции, предпочтительный для математиков, имеет множитель 2,718281828459045235. Это еще одно магическое число наряду с π, которое проявляет себя во всех областях математики.[17] Оно уже встречалось нам в этой книге (см. главу 1.vii). Оно иррационально[18], так что последовательность знаков после запятой никогда не повторяется и его нельзя переписать в виде дроби. Символ e для этого числа был введен Леонардом Эйлером, о котором будет много всего сказано в следующей главе.
Но почему именно это число? Не слишком ли оно неуклюже, чтобы с его помощью определять канонический вид? Разве не много проще было бы с числом 2? Да, наверное, для целей умножения было бы проще. Я не могу объяснить важность числа e, не вдаваясь в вычисления, а я дал торжественный обет объяснить Гипотезу Римана с минимумом вычислений. По этой причине я просто убедительно попрошу вас принять на веру, что e — действительно, действительно важное число и что ни одна другая показательная функция не может и близко сравниться с этой eN. Вот как выглядит наша таблица:
| N | eN |
|---|---|
| 1 | 2,718281828459 |
| 2 | 7,389056098931 |
| 3 | 20,085536923188 |
| 4 | 54,598150033144 |
(здесь точность — 12 знаков после запятой). Основной принцип, конечно, сохраняется — аргументы (левая колонка) растут каждый раз за счет добавления 1; при этом значения в правой колонке каждый раз умножаются на e.
А если наоборот? Представим себе функцию, основанную на таком правиле: когда аргумент растет «по умножению», значения растут «по сложению». Что за функция получится?
Здесь мы вступаем в царство обратных функций. Математики имеют особое пристрастие к тому, чтобы обращать самые разные вещи — выворачивать их наизнанку. Если у есть 8 умножить на x, то как выразить x через y? Понятно, что это y/8. Деление обратно умножению. Еще есть такое любимое нами действие, как возведение в квадрат, когда мы умножаем число само на себя. И каково же его обращение? Если y = x2, то чему равен x в терминах y? Ну да, это квадратный корень из y. Если вы немного знакомы с анализом, то знаете, что есть действие, называемое «дифференцированием», которое позволяет превратить функцию f в другую функцию — g, говорящую о том, какова мгновенная скорость изменения функции f при каждом ее аргументе. И каково же действие, обратное дифференцированию? Это интегрирование. Ну и так далее. Обращение станет ключевой темой позднее, когда мы вникнем в работу Римана 1859 года.
17
Вот только один пример неожиданного появления числа
18
Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть