С точки зрения принятого нами подхода, когда функции показаны в виде таблиц, обращение просто означает отражение таблицы, при котором ее правая часть становится левой, а левая — правой. Правда, это быстрый способ нажить себе неприятности. Возьмем функцию возведения в квадрат — скорее всего, первую нетривиальную функцию, с которой вы познакомились в школе. Чтобы возвести число в квадрат, мы умножаем его само на себя. Вот соответствующая таблица:
| N | N2 |
|---|---|
| −3 | 9 |
| −2 | 4 |
| −1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
(Я полагаю, что вы помните о правиле знаков, так что −3 умножить на −3 дает 9, а не −9).[19] А теперь поменяем колонки местами и получим обратную функцию:
| N | √N |
|---|---|
| 9 | −3 |
| 4 | −2 |
| 1 | −1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
Но постойте-ка! Каково же значение функции при аргументе, равном 9? Это −3 или 3? Похоже, что эта функция принимает такой вид:
| N | √N |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1, а может быть, −1 |
| 4 | 2 или, возможно, −2 |
| 9 | 3, или это может равняться −3? |
Так дело не пойдет — слишком путано. Вообще-то… вообще-то существует математическая теория многозначных функций. Бернхард Риман был знатоком этой теории, и мы познакомимся с его идеями в главе 13.v. Но сейчас не время и не место для этого, и я не собираюсь тащить сюда сундук, набитый подобными вещами. Во всяком случае, что касается меня, то железное правило состоит в том, что на один аргумент — самое большее одно значение (ни одного значения, разумеется, если аргумент не лежит в области определения функции). Квадратный корень из 1 равен 1, квадратный корень из 4 равен 2, квадратный корень из 9 равен 3. Означает ли это, что я не признаю того факта, что −3 умножить на −3 даст 9? Разумеется, я его признаю, я просто не включаю его в мое определение «квадратного корня». Вот мое определение квадратного корня (по крайней мере на данный момент): квадратный корень из N есть единственное неотрицательное число (если таковое имеется), которое при умножении само на себя дает N.
По счастью, показательная функция не доставляет нам подобных хлопот. Вы можете шутя обратить ее и получить функцию, которая при выборе аргументов, получаемых друг из друга умножением, дает значения, получаемые друг из друга сложением. Разумеется, как и в случае показательных функций, обратные им функции также образуют семейство, зависящее от множителя; и, как и с показательной функцией, математикам намного, намного больше всех остальных нравится та, к значениям которой прибавляется единица, когда аргументы умножаются на e. Получаемую функцию называют логарифмической, а обозначают ln.[20] «Логарифм!» — вот слово, которое возникло в голове математика при вспышке лампочки, когда он увидел таблицу 3.2. Если y = ex, то x = ln y. (Отсюда, кстати, путем простой подстановки следует, что для любого положительного числа у выполнено y = eln y — факт, которым мы не преминем как следует воспользоваться в дальнейшем.)
19
Правило знаков: минус умножить на минус дает плюс. Многие люди застревают в арифметике именно на этом месте. Они спрашивают: «Что это значит — умножить отрицательное на отрицательное?» Лучшее объяснение, какое мне приходилось встречать, принадлежит Мартину Гарднеру. Оно таково. Рассмотрим большую аудиторию, в которой находятся два типа людей: хорошие и плохие. Определим «сложение» как «приглашение людей в аудиторию». Определим «вычитание» как «удаление людей из аудитории». Определим «положительный» как «хороший» (имея в виду «хороших людей»), а «отрицательный» — как «плохой». Прибавление положительного числа означает, что в аудиторию приходит сколько-то хороших, что несомненно повышает в ней уровень «хорошести». Прибавление отрицательного числа означает, что в аудиторию приходят плохие парни, что понижает суммарный уровень «хорошести». Вычитание положительного числа означает, что наружу выходит сколько-то хороших, и суммарный уровень «хорошести» понижается. Вычитание отрицательного числа означает уход нескольких плохих, в результате чего суммарная «хорошесть» повышается. Таким образом, прибавление отрицательного числа — это все равно что вычитание положительного, а вычитание отрицательного — все равно что прибавление положительного. Умножение — это просто кратное сложение. Минус три умножить на минус пять? Попросим выйти пятерых плохих парней. Повторим это три раза. Результат? Суммарная «хорошесть» увеличилась на 15… (Когда я проверил это на шестилетнем Дэниеле Дербишире, он сказал: «А что, если ты попросишь плохих парней выйти,
20
В отличие от распространенного американского обозначения log принятое у нас обозначение ln уже содержит напоминание не только о логарифме (буква