для некоторых чисел A и B, которые «подлежат определению». В более позднем издании своей книги он уточнил это предположение (доказать которое он не смог) таким образом:
где A при больших значениях x стремится к некоторому числу, близкому к 1,08366. Гаусс обсуждает предположения Лежандра в своем письме к Энке в 1849 году он отвергает значение 1,08366, но не приходит ни к каким другим определенным выводам.
Нет сомнений, что если бы несчастный Лежандр прочитал письмо Гаусса к Энке, то оно вызвало бы у него еще один приступ гнева. По счастью, он скончался за несколько лет до того, как это письмо было написано.[26]
Раз уж эта глава посвящена обзору важных открытий и предположений, сделанных до 1800 года, и поскольку именно этот человек был создателем Золотого Ключа, о котором мы так много всего будем говорить в последующих главах, сейчас самое время представить вам другого математического гения высшей пробы, родившегося в XVIII столетии, — Леонарда Эйлера. Эйлер (1707-1783), как пишет Э.Т. Белл в своей книге «Творцы математики»[27], был, «вероятно, величайшим из всех ученых, которых породила Швейцария»; насколько мне известно, он остается единственным математиком, именем которого названы два числа: уже упоминавшееся число e, равное 2,71828…, и число Эйлера-Маскерони, для внятного описания которого в этой книге недостаточно места[28], равное 0,57721…{A6} Чтобы познакомить вас с Эйлером, мне придется сначала представить вам новый географический регион, сыгравший важную роль в истории нашей темы.
Россия, как, я думаю, хорошо известно, вступила в современную эпоху несколько позднее остальной Европы, причем это вступление свершилось главным образом благодаря энергии и силе воображения Петра Великого, взошедшего на трон десятилетним мальчиком в 1682 году. Годами правления Петра обычно считаются 1682-1725, но в течение первых семи лет он правил совместно со своим подслеповатым, хромым и плохо выговаривающим слова сводным братом Иваном, а реальное управление находилось в руках сестры Ивана Софьи. Петр добился единоличного правления лишь в 1689 году в возрасте 17 лет. Но он и тогда не выказал большого интереса к государственным делам и провел следующие пять лет в забавах. По счастью, он был человеком острого ума и неуемной любознательности, и многие из его забав оказывались весьма полезными. Ему особенно нравилось общество иностранцев, которые к тому времени в значительном числе расселились в пригороде Москвы, в так называемой Немецкой слободе. Здесь, среди шотландских наемников, голландских купцов и немецких и швейцарских инженеров, Петр мог познакомиться с европейской наукой и культурой, а заодно удовлетворить свою страсть к фейерверкам и кораблям (в перерывах между бурными застольями и кутежами ночи напролет). В 1692-1693 годах на Плещеевом озере Петр сам построил военный корабль, от киля до мачт. В следующем 1694 году умерла его мать, и Петр стал полновластным государем.
В 1695-1696 годах этот необычный и необычной внешности человек — вдобавок к росту в 6 футов 7 дюймов он страдал нечастыми, но устрашающими лицевыми судорогами — напал на порт Азов на Черном море и отобрал его у турок-оттоманов. В 1697-1698 годах он инкогнито отправился во Францию, Британию и Голландию, став первым российским самодержцем, вообще выехавшим за границу; в ходе своего путешествия он учился. (По поводу его странствий в Британии хорошо известна — хотя и является, скорее всего, апокрифом — следующая история. Остановившись в сельском доме Джона Ивлина в пригороде Лондона, Петр однажды вошел в гостиную с мушкетом в руках и заявил на своем ломаном английском: «Я только что стрелял пейзан». — «Нет, нет, мой добрый друг, — со смехом ответил хозяин, — вы имеете в виду фазана». — «Nyet, — ответил Петр, качая головой, — Это быфф пейзан. Он быфф дерзкий, унт я стрелял его».) Вернувшись в Россию, Петр приступил к осуществлению целого ряда невиданных реформ, повелев боярам сбрить бороды, усмирив церковь и уничтожив старую московскую царскую гвардию — стрельцов, которые терроризировали его в детстве. В 1700 году он начал двадцатилетнюю войну со шведским королем Карлом; в 1703 году Петр вторгся на шведские земли и занял области вдоль Невы, от Ладожского озера до берегов Балтики. Там, на земле, которая все еще формально принадлежала могущественному и непобежденному врагу, в болотистой дельте Невы, он основал новую столицу, Санкт-Петербург.
26
Лежандр умер в нищете из-за того, что своей принципиальной позицией разгневал политических покровителей. Мне неловко, что я представил его здесь как вечно сердитого и слегка комического персонажа. Лежандр (1752-1833) был прекрасным математиком, одним из лучших во втором ряду, и в течение многих лет получал очень ценные результаты. Его «Элементы геометрии» были главным элементарным учебником по этому предмету в течение более чем столетия. Говорят, что именно эта книга побудила Эвариста Галуа — человека с трагической судьбой (от лица которого ведется повествование в романе Тома Пециниса «Французский математик») — выбрать своим занятием математику. Для нашего рассказа более существенно, что его книгу «Теория чисел» — переименованное третье издание упомянутых «Очерков» — школьный учитель дал почитать юноше Бернхарду Риману, который вернул ее менее чем через неделю со словами «Поистине прекрасная книга. Я теперь знаю ее наизусть». В книге было 900 страниц.
28
О числе Эйлера-Маскерони очень хорошо рассказано в главе 9 «Книги чисел», написанной Джоном Конуэем и Ричардом Гаем. Хотя я толком не описал его в данной книге, очень внимательный читатель заметит, как число Эйлера-Маскерони мелькнет за кадром в главе 5.