Среди 7 "планет" древности - Солнца, Луны и пяти планет - имеются две пары, соответствующие пифагорейским противоположностям: Солнце и Луна, соответствующие "свету и тьме" и Марс и Венера, соответствующие "мужскому и женскому", которые часто обозначаются знаками этих планет. Если из 7 "планет" удалить эти две пары, мы получим "античную троицу" - отца - Кроноса-Сатурна, сына- Зевса-Юпитера и вестника богов - Гермеса- Меркурия. Античная троица значительно ближе к христианской, чем индийская троица Брахма - Вишну - Шива.
Симметричная и асимметричная двойственность
Из десяти пар противоположностей пифагорейцев шесть пар - 1-я, 2-я 4-я, 5-я, 8-я и 9-я симметричны, а другие четыре пары - 3-я, 6-я, 7-я и 10-я асимметричны.
Симметричными и асимметричными бывают и другие двойственности. Например, принцип двойственности проективной геометрии и все принципы двойственности Картана совершенно симметричны, а "двойственность по Картану", определенная Гельфандом, асимметрична. Асимметрична и двойственность между эллиптическим пространством с мнимым абсолютом и гиперболическим, псевдоэллиптическими и псевдогиперболическими пространствами с вещественными абсолютами: группа движений эллиптического пространства компактна, а группы движений остальных пространств некомпактны. Асимметрична и двойственность между эллипсом и "парой противоположных гипербол", которую подчеркивал Аполлоний, и между окружностью и равносторонней гиперболой, на которую мы обращали внимание, говоря об алгебраическом трактате Хайяма.
Симметричной является двойственность между замкнутыми и открытыми множествами в топологии, между операциями пересечения и объединения множеств в теории множеств, между конъюнкцией и дизъюнкцией в математической логике, и между аналогичными операциями во многих областях математики.
Примером двойственности в математике является сопоставление коммутативной группы и ее группы характеров. Характером коммутативной группы называется гомоморфное отображение этой группы в группу комплексных чисел единичного модуля. Характеры коммутативной группы сами образуют коммутативную группу. В случае конечных коммутативных групп группа характеров коммутативной группы G, как показал Г.Ф.Фробениус, изоморфна самой группе G и двойственнисть между группой и ее группой характеров симметрична. В случае бесконечных коммутативных групп группа G и ее группа характеров G* уже не изоморфны, но, как показал Л.С.Понтрягин, в случае, когда группа G компактна, группа G* дискретна, а в случае, когда группа G дискретна, группа G* компактна, и двойственность между компактными группами и их группами характеров асимметрична.
Двойственность в зороастризме и в учении "Инь-ян"
Пары противоположностей, аналогичные пифагорейским, имелись у персидских зороастрийцев и в китайском учении "Инь-ян".
Религия зороастрийцев была основана на борьбе доброго бога Ахура- Мазды (Ормузда) и злого бога Ахгра-Майню (Ахримана). С этими богами были связаны противоположности "свет и тьма", "Солнце и Луна", "тепло и холод", "добро и зло".
Учение "Инь-ян", на котором были основаны наука и образование в древнем и средневековом Китае, связано с противоположностями "солнечная погода и дождь", "весна-лето и осень-зима", "Солнце и Луна", "свет и тьма", "мужское и женское", "положительное и отрицательное", "небо и земля".
Возможно, что между пифагорейцами и древними персами имелись связи; o связях между древними персами и китайцами мы упоминали в предыдущей главе. Двойственность зороастризма, несомненно, определила двойственность "отца диалектики" Гераклита, который учился у зороастрийских жрецов.
Двойственность в Библии
Первая книга Библии "Бытие" начинается такими словами: "В начале сотворил Бог небо и землю. Земля же была безвидна и пуста, и тьма над бездною; и Дух Божий носился над водою. И сказал Бог: да будет свет. И стал свет. И увидел Бог свет, что он хорош ; и отделил Бог свет от тьмы. И назвал Бог свет днем, а тьму ночью". Мы видим, что согласно Библии сотворение мира было результатом воздействия Духа Божьего на материю, не имеющую формы - на воду. В результате появились противоположности - небо и земля, свет и тьма.
Далее, согласно Библии, Бог создал элементы, минералы, растения, животных.
В шестой день "сотворил Бог человека по образу Своему, по образу Божию сотворил его; мужчину и женщину сотворил их... И создал Господь Бог человека из праха земного, и вдул в лице его дыхание жизни, и стал человек душею живою".