Имеется глубокое родство в характере творческого процесса в науке и искусстве. Вместе с тем существует и принципиальное различие между истиной, которая заложена в произведениях искусства, и истиной, к которой стремится наука. Задача науки — нахождение объективных законов природы, и поэтому окончательный результат не зависит от личных качеств ученого. Задача искусства — это художественное познание мира, она субъективна, поэтому произведение искусства всегда содержит в себе черты индивидуальности своего создателя. Но объективность науки тотчас исчезает, как только мы переходим от окончательной цели к способам ее реализации. Каждый ученый имеет свой собственный стиль исследований, свой собственный подход к решению стоящих перед ним задач. Здесь индивидуальность ученого проявляется так же, как и индивидуальность художника.
Но если методы решения задач различными учеными индивидуальны, то напрашивается вопрос, а не существуют ли какие-то общие принципы и подходы к решению научных проблем? Да, такие принципы, накопленные опытом предшествующих поколений ученых, существуют п каждой области науки, но особенно широко они разработаны в математике, служащей универсальным языком для многих областей науки.
Единым считается принцип подобия, в соответствии с которым различные по своей природе процессы или явления стремятся описать одинаковыми, но записанными в свободной форме уравнениями. В таком случае коэффициенты этих уравнений трактуют как критерии подобия описываемых процессов.
Принцип подобия широко используют и в областях науки, далеких от математических форм выражения. Так, в гомеопатии главенствующим является следующий принцип подобия: если растение, минерал или продукт, созданный человеком, вызывает состояние, подобное какой-либо известной болезни, то малые дозы этого вещества должны способствовать излечению человека от этой болезни.
При решении многих задач используют метод математической индукции. В связи с развитием электронно-вычислительной техники большое значение при математическом описании проблем уделяют вопросам алгоритмизации и применению численных методов. Численные методы, реализуемые на ЭВМ, как правило, весьма сложны, и из них не всегда ясен физический смысл получаемых результатов. Поэтому опытный ученый обязательно пытается получить параллельно более простое аналитическое решение задачи, максимально упрощая ее постановку. Делается это для того, чтобы в другой задаче, где встретится подобная ситуация и сложный метод откажет, можно было использовать более простой подход, основанный на глубоком понимании сути проблемы. К тому же надо иметь в виду, что численные методы неудобны для реализации решения обратных задач. При отыскании аналитических решений используют разложения в бесконечные ряды. Для сходимости последних необходимо существование малого параметра, по степеням которого осуществляется разложение в ряд. В каждой решаемой задаче следует установить наличие такого параметра.
Любую сложную задачу целесообразно свести к совокупности гораздо более легких задач. Движение к окончательному результату должно сводиться к последовательному преодолению сравнительно небольших трудностей, к движению шаг за шагом.
Прежде всего задача упрощается до предела так, что остаются только ее главные черты (постепенно усложнить уже решенную задачу всегда гораздо легче, чем первоначально решить более сложную).
Затем выясняется возможность решения задачи в предельных частных случаях. Кроме того, прежде чем пытаться получить количественное решение, нужно найти результаты грубо, качественно, что сделать несравненно проще. И, наконец, на всех этапах следует пытаться опровергнуть полученный результат, используя все известные до того соотношения, к которым результат должен сводиться в частных случаях. Надо организовать также проверку логической структуры полученных результатов. Могут ли они следовать из принятых посылок; не противоречат ли каким-либо общим принципам, которые могли быть незаметно нарушены при выводах; совпадают ли границы их применимости с теми ограничениями, которые были сделаны при выводах. Нередко результаты оказываются справедливыми при более широких предположениях, чем те, которые пришлось вводить в процессе их получения. В этом случае результаты можно экстраполировать за пределы сделанных допущений. Если решение далось слишком легко, то следует проанализировать, не нарушен ли при этом закон «сохранения трудностей». Суть последнего состоит в том, что если при каком-либо подходе выясняются принципиальные трудности решения, то они, как правило, должны себя проявить и при другом подходе к решению.