Десятичныя дроби.
Кто понимаетъ, какъ совершаются въ десятичномъ счисленiи переходы изъ разрядовъ въ разряды, какимъ образомъ 100 × 100 выходитъ 10000, и 200 × 100 = 20000, и 10000 : 100 = 100, тотъ уже знаетъ собственно возвышеніе въ степень и извлеченiе корней; а между прочимъ начинаютъ ариѳметику съ счисленія, и оно всѣмъ понятно.
Рѣдкій ученикъ въ состояніи будетъ объяснить, почему 30000 : 100 = 300. Но всякій это знаетъ, помнитъ и понимаетъ. На этомъ-то знаніи и пониманіи должно быть основано понятіе о дробяхъ.
Покажите ученику, что сложеніе и вычитаніе десятичныхъ дробей ничѣмъ не отличается отъ сложенія и вычитанія цѣлыхъ чиселъ.
Потомъ покажите ученику какъ можно болѣе примѣровъ того, что въ цѣлыхъ числахъ помноженіе на единицу бо́льшаго разряда увеличиваетъ произведеніе въ столько разъ, въ сколько разъ множитель больше единицы (или переводитъ на столько разрядовъ влѣво, на сколько множитель стоитъ влѣво отъ единицы, т. е. на то мѣсто, на которомъ стоитъ множитель).
Когда это ясно ученику, покажите, что, когда помножаешь на единицу разряда, который меньше принимаемого нами за единицу, то произведенiе уменьшается въ столько разъ, въ сколько разъ множитель меньше единицы (или произведенiе переходитъ на столько разрядовъ вправо, насколько множитель стоитъ вправо, т. е переходитъ на то мѣсто, на которомъ стоитъ множитель).
Потомъ покажите, что умноженіе и дѣленіе десятичныхъ дробей ничѣмъ ни отличается отъ умноженія и дѣленія простыхъ чиселъ.
Разныя счисленія.
Ясное понятіе о возможности другихъ счисленiй, кромѣ десятичнаго, и о томъ, что законы счисленія одни и тѣже, какое бы ни было счисленіе, — весьма полезно.
И потому пройдите нѣсколько упражненій сложенія и вычитанія въ различныхъ счисленіяхъ цѣлыми числами.
При счисленіи 11-чномъ надо помнить, что для 10 нуженъ особый знакъ * умѣщающійся на одномъ мѣстѣ.
Умноженіе и дѣленіе въ различныхъ счисленіяхъ для ученика слишкомъ было бы затруднительно, и потому опущено.
Какъ только счисленіе не-десятичное съ цѣлыми числами ясно, то покажите, что въ различныхъ счисленіяхъ можно считать и меньше единицы, т. е. вправо, и пройдите упражнія въ сложеніи, вычитаніи и умноженіи дробей (по одному разряду), изображая ихъ какъ десятичныя дроби, 
+ 
, и т. п.
Переименованіе дробей.
Переименованіе дробей есть умноженіе и дѣленіе дроби на единицу извѣстнаго счисленія. И потому переименованіе должно бы было слѣдовать за умноженіемъ.
Въ сущности же не только умноженіе, но и сложеніе нельзя объяснять безъ переименованія; поэтому, пройдя переименованіе дробей, какъ оно изложено, и прибавивъ отъ себя примѣры, возвратитесь послѣ умноженія и дѣленія къ переименованію и объясните его, какъ умноженіе и дѣленіе на единицу извѣстнаго счисленія.
На этотъ отдѣлъ вообще обратите большее вниманіе, такъ какъ въ сущности вся особенность счета дробями состоитъ только въ необходимости переименованія.
Приведенiе къ одному знаменателю. Лучшій примѣръ для объясненія того, какимъ образомъ дѣлается приведенiе къ одному знаменателю, дадутъ двѣ палки, — одна, напримѣръ, въ 6 вершковъ, а другая въ 8, — которыя кладутся рядомъ по одному направленiю нѣсколько разъ, пока концы обѣихъ палокъ сравняются. Или двѣ бумажки, которыя перегибаются концами одна на другую, пока концы сойдутся.
Способъ приведенія къ одному знаменателю посредствомъ большаго и меньшаго приближенія — включаетъ въ себѣ всѣ способы: и перемноженіе чиселъ одного на другое, и дѣленіе нa множителей, — имѣя передъ всѣми преимущество ясности того, что́ совершается съ числами.
Способъ перемноженія другъ на друга я не указываю и не совѣтую указывать, такъ какъ это одно изъ тѣхъ открытій, которыя долженъ сдѣлать самъ ученикъ.
Разложеніе на производителей я не указываю потому, что это способъ алгебраическій и слишкомъ сложный; но не считаю его безполезнымъ для понятливаго ученика.
Способъ же дѣленія одного числа на другое я не включилъ потому, что объясненіе этого пріема такъ трудно и противно обычнымъ пріемамъ мысли, что ученики почти никогда не понимаютъ его, а всегда только заучиваютъ на память.