Так завязалась оживленная многолетняя переписка Пуанкаре, а затем и других французских ученых — П. Аппеля, Э. Пикара, К. Жордана, П. Дюгема, Ж. Адамара — с далеким русским математиком. Его научные достижения получают у них высокую оценку и вызывают искреннее восхищение. П. Дюгем по поводу одной работы Ляпунова сообщает впоследствии в очередном своем письме: "Я нахожу там одно замечание, которое я думал, что сделал первым. Вы меня опередили на 20 лет!" Успехи А. М. Ляпунова и его коллег приковывают внимание парижского ученого света к петербургской математической школе. Этот интерес явно выражен в письме Аппеля, в котором он обращается к Ляпунову с необычным предложением: "Ввиду того, что работам, опубликованным на русском языке, придается большое значение", неплохо было бы найти какого-нибудь русского математика, знающего французский язык, который мог бы регулярно присылать для "Бюллетеня математических наук" обзоры этих работ. "Вы оказали бы таким образом науке большую услугу", — заключает Аппель свою просьбу. Именно после этого письма, датированного декабрем 1896 года, все jсновные работы Ляпунова публикуются на французском языке. Но до этого события пройдет еще целое десятилетие. А пока Пуанкаре и Ляпунов, преодолевая разделяющие их пространство и языковой барьер, пытаются посвятить друг друга в суть своих методов и идей.
Отвечая на вопрос своего петербургского адресата, Пуанкаре сообщает, что столкнулся с такими же трудностями, доказывая существование неэллиптических форм равновесия, и не смог продвинуться дальше первого приближения. Если же он все-таки утверждает, что эти фигуры равновесия существуют, то "только на основании некоторых аналогий и на основании своего убеждения, что строгое доказательство может быть найдено". Ляпунова совершенно не удовлетворило это объяснение, как не убедили его и доказательства, приведенные в мемуаре Пуанкаре, опубликованном в "Акта математика". Сказалось различие стилей и методов научной работы обоих математиков. Это были два различных типа творца. Хоть Пуанкаре и причисляли в то время к плеяде молодых французских математиков, его подход к решению прикладных научных проблем был скорее физическим. В своих исследованиях он широко использует наглядные, геометрические соображения, руководствуется нестрогими, с точки зрения чистых математиков, суждениями, опирается на свою потрясающую физическую интуицию, которая весьма часто приводит его к правильному конечному результату в самых запутанных и абстрактных вопросах. По силе интуиции Сильвестр сравнивал Пуанкаре с выдающимся немецким математиком Бернгардом Риманом. Но с не меньшим основанием его можно было бы сравнить и с французом Жаном Фурье, который в математических изысканиях нередко полагался лишь на свою мощную интуицию, пренебрегая вопросами математической строгости. Пуанкаре прямо заявлял, что "в механике нельзя требовать такой же строгости, как и в чистом анализе".
Ляпунов тяготел к другому полюсу научного творчества. Все его работы были безупречны в отношении точности математических рассуждений, ясности и строгости доказательств. Возражая против подхода, применяемого в работах Пуанкаре, он пишет, что "если иной раз и возможно пользоваться неясными рассмотрениями, когда желают установить новый принцип, который логически не вытекает из того, что было уже принято, и который по своей природе не может быть в противоречии с другими принципами науки, однако непозволительно это делать, когда должны решать определенную задачу (из механики или физики), которая поставлена совершенно точно с точки зрения математической. Эта задача делается тогда проблемой математического анализа и должна решаться как таковая". По мнению Ляпунова, задача о \ фигурах равновесия вращающейся жидкости, будучи по- ставлена как предмет математического исследования, должна решаться с той же строгостью, что и все остальные задачи математики. Но в продолжение последующих пятнадцати лет он не занимается этой проблемой, увлеченный другими делами. Лишь после избрания его в 1901 году в Академию наук, получив необходимый для этого досуг, Ляпунов возвращается к задаче Чебышева и через несколько лет получает полное и точное ее решение.
Ранние работы Ляпунова были почти неизвестны в Европе, за исключением узкого круга французских математиков. Только в 1904 году была полностью переведена на французский язык его магистерская диссертация. Неудивительно, что исследования Пуанкаре по фигурам равновесия вращающейся жидкости долгое время оставались в глазах механиков и астрономов самым последним и самым авторитетным словом в решении этой вековой проблемы.
Новый член Института Франции
Известность и авторитет Пуанкаре в европейских научных кругах приводят к тому, что зарубежные математики, в немалом числе посещающие в это время Париж, стремятся непременно войти с ним в контакт. Но сам Пуанкаре чувствует себя весьма неуютно в роли одной из столичных знаменитостей. Он не из тех людей, кто легко и непринужденно вступает в новые знакомства, и каждый новый визит вызывает у него чувство неловкости и скованности, с которыми он не в силах совладать. Именно таким увидел его немецкий математик Д. Гильберт, который сообщал в письме Ф. Клейну: "Он производит впечатление очень молодого и несколько нервного человека. Даже после нашего знакомства он не кажется очень дружелюбным: я думаю, что это объясняется его явной застенчивостью, которую мы не смогли преодолеть из-за отсутствия у нас лингвистических способностей".
С апреля месяца находясь в Париже, Гильберт прилагает немало усилий, чтобы поближе познакомиться с Пуанкаре. Это Феликс Клейн посоветовал своему молодому, но, несомненно, одаренному коллеге посетить французскую столицу, считая, что такая поездка окажет на него весьма благотворное и стимулирующее влияние, "особенно если удастся найти хороший подход к Пуанкаре". И вот в 1886 году Гильберт в компании с другим немецким математиком совершает научное паломничество, которое некогда осуществил сам Клейн. Французские математики встретили их с большой теплотой. Шарль Эрмит, демонстрируя свое редкостное доброжелательство, о котором они уже были наслышаны, не замедлил нанести им ответный визит. С Гильбертом он по собственной инициативе провел даже целое утро, свободное от лекционных занятий. Камилл Жордан устроил в честь зарубежных коллег обед, на котором присутствовали также Дарбу, Альфан и Маннгейм. В Сорбонне Гильберт посетил лекции Пикара, а также прослушал курс по теории потенциала и гидромеханике, читавшийся Пуанкаре. После этого он был представлен самому профессору, который был старше его лишь на шесть лет. Еще раз он встретился с ним, когда присутствовал на заседании Французского математического общества. Пуанкаре в этом году был избран его президентом. Но, видимо, сближение между ними шло не так быстро, как хотелось бы Гильберту, потому что в письме Клейну он жалуется, что Пуанкаре все еще не нанес им ответного визита.
Упреки в необщительности и недоверчивости не раз сказывались в адрес Пуанкаре. Действительно, он не очень легко сходился с малознакомыми ему людьми, решительно отклоняя какие бы то ни было попытки к душеизлиянию, претендующие на ответную откровенность с его стороны. Враг суетного пустословия и никчемной светской болтовни, Анри очень неохотно позволял посторонним угадывать скрытые движения своей души, оберегая свой внутренний мир от нескромных, назойливых взглядов. Это и создавало ему репутацию замкнутого человека. "…Относительно Пуанкаре я могу сказать все то же, — пишет Гильберт Клейну в другой раз. — Он кажется скрытным из-за застенчивости, которую можно будет преодолеть, если умело подойти к нему". Аппель, несомненно лучше знавший Пуанкаре, объясняет его сдержанность по отношению к недавним знакомым другой, более глубокой причиной: нежеланием в какой-то степени связать себя теми негласными обязательствами, которые поневоле налагает каждое новое тесное знакомство. Стремясь ограничить круг своих друзей и близких, который тем не менее был не так уж мал, он как бы инстинктивно оберегал свою внутреннюю свободу и духовную независимость, внешней скованностью окупал полную внутреннюю раскрепощенность. Только среди тех, с кем Анри долгое время поддерживал дружеские или приятельские отношения, он сразу становился самим собой, обретал свою привычную веселость и остроумие, свою непринужденность и уверенность в обращении. Друзья Пуанкаре единодушны в своих отзывах о нем: неизменно чистосердечен и прост, предан и доброжелателен.