Концепты у нас в голове не сверхъестественные сущности из параллельного мира, а мысленные представления, выстроенные нашим мозгом. Эти представления – плод нейронного обучения, позволяющего нам интерпретировать и «видеть» мир.
Математические концепты, которые там находятся, не более и не менее реальны, чем все остальные. Единственная разница – они туда попали усилием воображения, а не путем непосредственного наблюдения за физическим миром. Именно в этом – и только в этом – смысле они являются воображаемыми. Стоит нам их понять, как математические концепты становятся такими же очевидными, как слоны.
Пробуждение к математике
На протяжении тысячелетий способ рассказывать о математике сделал ее непостижимой для большинства. Сейчас у нас есть возможность рассказать о ней иначе.
Обучение математике должно быть психомоторным процессом, как и все остальные, доступным для самого широкого круга, в точности как обучение плаванию или езде на велосипеде. Но неверные представления о природе нашего языка и работе мысли препятствуют этому простому и непосредственному обучению. Они блокируют действия, позволяющие учиться.
Как преподавать математику человеку, который думает, что его интуиция и восприятие реальности – косная данность, которую невозможно перепрограммировать? Это так же сложно, как учить плавать человека, убежденного, что его тело плотно, как камень, и обязательно пойдет ко дну.
Для любого успешного преподавания нужно суметь сначала прогнать эти ложные убеждения. Вот почему я задумал данную книгу как книгу пробуждения и освобождения. Она рассказывает как о самой математике, так и о нашем теле, о его деятельности и о том, что мы можем сделать с его помощью.
Я попытался как можно спокойнее рассказать, что происходит у нас в голове. Конкретная человеческая реальность, субъективный опыт, физические и сенсорные ощущения, практическое применение, что мы делаем на самом деле, как это работает и почему работает, – все это никогда не становилось темой изучения в образовательных учреждениях.
Но ведь, по всей видимости, именно здесь все и решается. Есть методы, которые работают, и методы, которые не работают. И даже есть те, которые работают удивительно хорошо.
У меня нет никаких сомнений: творческие математики не отличаются от остальных биологически, они просто нашли способ «разблокировать» могущественные скрытые функции человеческого мозга, сами того не осознавая, но они не в состоянии поделиться опытом.
Я руководствовался этой гипотезой во время работы над книгой. Я сосредоточился на том, что понимал сам, а значит, на небольшом краешке этой темы.
Мне посчастливилось иметь возможность опереться на рассказы Декарта, Гротендика и Тёрстона. Их истории очень близки друг к другу, словно это одна и та же история, рассказанная с трех разных точек зрения. Они созвучны тому, что я пережил сам. Это и позволило вписать мою личную историю в более древнюю, мощную и обильно снабженную источниками традицию.
Они и сами нашли не все ключи. Декарт может объяснить происходящее с ним, лишь выдвинув гипотезу, что его дух имеет божественную и нематериальную природу, отдельную от тела. Гротендик убежден, что Бог приходит шептать ему на ухо и грезить внутри его головы. Тёрстон из всех троих самый современный, самый прагматичный и, пожалуй, самый проницательный.
Их откровенность и чувство деталей бесценны. Они рассказывают о том, что, как им кажется, они пережили и что повлияло на их успехи.
С первой до последней страницы их свидетельства рассказывают почти исключительно о воображении. Каждый описывает использование воображения новыми способами, обнаруженными случайно, вразрез с тем, что ему преподавали.
Гротендик приписывает специфику своего творчества нарушению табу: «Кажется, что из всех естественных наук лишь в математике то, что я назвал "грезой" или "грезой наяву", помещено под кажущийся абсолютным запрет уже более двух тысячелетий».
Тёрстон формулирует это более скромно, но так же убедительно и еще более выразительно в английском оригинале: I have decided that daydreaming is not a bug but a feature («Я решил, что мечта не недостаток, а полезная функция»).
Совершенно ясно, что ключ ко всему этому – наше воображение. Мы тысячелетиями неверно понимаем его природу и роль, а потому неспособны по-настоящему принять его всерьез.
Воображение не какая-то вредная деятельность, которую нужно запретить, как когда-то запрещали мастурбацию. Напротив, это ключевой вид деятельности, благодаря которому возможно наше интеллектуальное развитие.