Даже если определение триколорируемости позволяет доказать результат, оно выглядит столь же произвольным, как и пресловутая «хитрость» для расчета суммы целых чисел от 1 до 100.
Как всегда, кажущаяся «хитрость» – знак, что есть более глубокий способ понять происходящее. Увы, лично я не в состоянии объяснить это в простой форме. Здесь задействован тип интуиции, который сложно выразить в нескольких словах.
По поводу сложных рисунков тривиального узла см. дискуссию «Существуют ли очень сложные тривиальные узлы?» (Are There any Very Hard Unknots?), начатую на сайте MathOverflow Тимоти Гауэрсом, лауреатом Филдсовской премии 1998 года: https://mathoverflow.net/questions/53471/are-there-any-very-hard-unknots.
«Сложный» рисунок тривиального узла, показанный в этой главе, называется гордиевым узлом. Мы обязаны им Вольфгангу Хакену (1928–2022), немецкому математику, известному тем, что он вместе с Кеннетом Аппелем доказал знаменитую теорему о четырех красках.
Короткое видео на YouTube – Haken's Gordian Knot Animation – показывает, почему на этом рисунке изображен тривиальный узел (https://www.youtube.com/watch?v=hznI5HXpPfE).
Что касается гипотезы Кеплера: хотя доказательство Тома Хейлза обращается к феноменальному количеству расчетов на компьютере, оно также содержит глубокую и оригинальную «концептуальную» часть. Априори совершенно неочевидно, что гипотеза может сводиться к конечному числу расчетов и их можно на практике выполнить на компьютере.
Доказательства с помощью компьютера иногда становятся предметом обсуждения в математическом сообществе: если никто из людей не смог их прочесть и понять, следует ли действительно считать их доказательствами? И как мы можем быть уверены, что в цифровом коде нет ошибок?
После первого доказательства Том Хейлз начал масштабный проект с целью выстроить «формальное» подтверждение, компьютерное доказательство, проверяющее собственную истинность. Проект увенчался успехом. О нем рассказывается, в частности, в докладе «Формализация доказательства гипотезы Кеплера» (Formalizing the Proof of the Kepler Conjecture), доступном онлайн (https://www.youtube.com/watch?v=DJx8bFQbHsA). Этот доклад, прочитанный Хейлзом в Париже в 2014 году (в институте Анри Пуанкаре), не предназначен для широкой публики, но он показывает, какой может быть «живая» реальность современной науки.
Возможность определить плотнейшие упаковки шаров в размерностях 8 и 24 объясняется существованием исключительных геометрических структур, специфичных для этих размерностей, которые порождают особо плотные упаковки. Методы Марины Вязовской специфичны для этих размерностей.
В размерности 8 исключительной структурой будет геометрия типа E8 (см. примечания к главе 9 о классификации политопов). В соответствующей упаковке шаров количество контактов между соседними шарами (именуемое контактным числом) равно 240.
В размерности 24 геометрия упаковки – это решетка Лича, исключительная структура, характерная для размерности 24 (https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice). Следует отметить, что контактное число 196 560 отсылает к размерности 196 883, упомянутой в главе 20 и ассоциирующейся с Монстром. Это не совпадение. Математики знают, что подобные «нумерологические странности» часто служат знаком куда более глубоких связей. Монстр, один из самых интригующих математических объектов, связан со многими другими исключительными структурами (см. также Гипотезу чудовищного вздора, https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine).
Основные источники, касающиеся Унабомбера.
● О фрагментах дневника: David Johnston, "In Unabomber's Own Words, A Chilling Account of Murder," The New York Times, April 29, 1998.
● О теракте на рейсе 444 авиакомпании American Airlines: Stephen J. Lynton, Mike Sager, "Bomb Jolts Jet", The Washington Post, November 16, 1979.
● «Манифест Унабомбера»: доступен, например, на сайте The Washington Post: https://www.washingtonpost.com/wp-srv/national/longterm/unabomber/manifesto.text.htm.
● О подробностях терактов и расследования: конференция от 19 ноября 2014 года в суде округа Сакраменто, штат Калифорния, снималась и транслировалась каналом C-SPAN: https://www.c-span.org/video/?322849-1/unabomber-investigation-trial.
● О роли Билла Тёрстона в расследовании рассказано в статье: Steven G. Krantz, Mathematical Apocrypha. Stories and Anecdotes of Mathematicians and the Mathematical, The Mathematical Association of America, 2002.