Цитата Перельмана («Деньги и слава меня не интересуют») взята из статьи Russian Maths Genius Perelman Urged to Take $1m Prize, BBC News, March 24, 2010: http://news.bbc.co.uk/2/hi/europe/8585407.stm.
Дискуссия Билла Тёрстона и muad на сайте MathOverflow доступна по адресу: https://mathoverflow.net/questions/43690/whats-a-mathematician-to-do. Следует отметить, что комментарий Тёрстона: «Я пытаюсь писать то, что кажется мне реальным. Теперь я уже не боюсь чужих суждений, что делает все для меня проще», – перекликается с темой эпилога: чтобы осмелиться рассказать о человеческом опыте понимания, математики должны преодолеть нежелание своего сообщества затрагивать эту «несерьезную» тему.
«Проблема видов», то есть невозможность четко определить, что такое вид животных, – давно известная гносеологическая проблема, обсуждавшаяся многократно.
Среди прочих классических проблем, иллюстрирующих хрупкость человеческого языка, можно указать «парадокс кучи» (также известный как «парадокс сорита», от греческого «сорос», что значит «куча»): если убрать песчинку из кучи песка, это все еще будет куча песка; но если продолжить, в какой-то момент это уже не будет кучей – где находится граница? Этот парадокс, как и «парадокс лысого» (если вырвать волос у человека, не являющегося лысым, он не станет лысым – но можно ли действительно определить границу между «быть лысым» и «не быть лысым»?), обычно приписывается Евбулиду, греческому философу, жившему в IV веке до нашей эры.
Цитаты Людвига Витгенштейна взяты из параграфов 106 и 107 «Философских исследований» (французское издание: Recherches philosophiques, Paris, Gallimard, Tel, 2014), текста, законченного к 1949 году и опубликованного посмертно в 1953 году. Однако в первой половине жизни Витгенштейн, похоже, был близок к логицистским взглядам Бертрана Рассела (см. мой Эпилог), в отличие от фазы, когда он задавался вопросами «Философских исследований». Поздние работы Витгенштейна – прекрасное дополнение к этой главе и к главе 19. Самая доступная из них – возможно, сборник «О достоверности», собранный посмертно из его заметок (французское издание: De la certitude, Paris, Gallimard, Tel, 1976 [1969]).
Вопрос о происхождении абстрактных концептов известен в философии как проблема универсалий. Реалистическая позиция утверждает, что концепты есть явления реальные, то есть существующие вне зависимости от человеческого восприятия. Номинализм (и его концептуалистский) вариант утверждает, что это условности языка (или явления, существующие у нас в голове). Исторически реалистическая позиция долгое время преобладала. В Средние века этот вопрос в Европе стал предметом активных обсуждений, известных как Спор об универсалиях, которые подпитывало, в частности, принятие номиналистской концептуалистской позиции Пьером Абеляром (1079–1142) и Уильямом Оккамом (1285–1349), чьи тезисы были осуждены Церковью. В каком-то смысле глубокое обучение в конце концов признало их правоту.
Что касается специализации нейронов, знаменитая статья в Nature описывает экспериментальное выявление «нейрона Дженнифер Энистон», реагирующего именно на присутствие актрисы на изображении. См. R. Quian Quiroga, L. Reddy, G. Kreiman et al., «Invariant Visual Representation by Single Neurons in the Human Brain», Nature, no. 435, 2005, Pp. 1102–1107.
Вступительный курс глубокого обучения Массачусетского технологического института (MIT 6.S191, Introduction to Deep Learning) находится в свободном доступе онлайн.
Две цитаты Билла Тёрстона взяты из его предисловия к The Best Writing on Mathematics 2010, изд. Mircea Pitici, Princeton, Princeton University Press, 2011.
Цитата Гротендика взята из «Урожаев и посевов».
Статья Боба Томасона и Тома Тробо называется так: R. W. Thomason, Thomas Trobaugh, "Higher Algebraic K-Theory of Schemes and of Derived Categories", The Grothendieck Festschrift, vol. III, Boston, Birkhäuser, Pp. 247–429.
В первом письме к Годфри Харди от 16 января 1913 года Сриниваса Рамануджан утверждает, что ему 23 года. Но он родился в декабре 1887 года, и ему было 25 лет. Я не нашел объяснения этому расхождению.
Рецензия Харди на «Основания математики» называется «Новая символическая логика». Она вышла в The Times Literary Supplement за 7 сентября 1911 года и начинается словами: «Возможно, в Англии эту книгу прочтут двадцать или тридцать человек».
Именно Харди Расселл рассказал о приснившемся ему кошмаре: в далеком будущем остался лишь один экземпляр «Оснований математики» в большой университетской библиотеке. Сотрудник библиотеки просматривает полки в поисках книг, ставших бесполезными, чтобы уничтожить их и освободить место. Он берет последний экземпляр «Оснований математики» и колеблется.