Как понять по-настоящему
Система десятичной записи чисел кажется вам настолько очевидной, что вы уже не помните, что вам пришлось ее изучать. Всё как с ложкой. Вы пользуетесь ею не задумываясь, словно это продолжение вашего тела. Когда вы видите 999 999 999, то считаете, что видите непосредственно число, и даже не отдаете себе отчета в том, что видите его с помощью инструмента.
А ведь десятичная запись – чисто человеческое изобретение. Это больше, чем система записи, – это дверь в состояние сознания, где целые числа, как бы велики они ни были, становятся конкретными и точными объектами. А заодно становится очевидностью сама бесконечность целых чисел.
Что-то ранее немыслимое вдруг становится очевидным – вот то самое действие, которое математика производит с вашим мозгом. Это восхитительное ощущение и сильнейшее удовольствие.
В детстве вы гордились, что умеете считать до 10, затем до 20, затем до 100. Это позволяло вам от души повоображать во дворе. Чтобы повыпендриваться еще больше, вы хотели бы узнать самое большое число на свете.
По сути, ваше представление о числах было не очень далеко от представления охотников-собирателей, которые умеют считать только до двух или до пяти и твердо убеждены, что следующее число – «много» – и есть самое большое число на свете.
Однажды вы поняли, что ни одно число не может быть самым большим. Даже если вы могли бы прийти к этому выводу другим путем, десятичная запись показала вам короткую дорогу. Вы знаете, что за каждым числом следует другое. Вы можете видеть последовательность чисел в виде крутящегося счетчика и знаете, что этот счетчик может крутиться бесконечно. Нет предела, нет какого-то особого числа, после которого счетчик остановится.
На протяжении 99 % истории человечества никто не научился видеть у себя в голове крутящийся счетчик чисел.
Счетчик, крутящийся у вас в голове, – коллективное творчество великих математиков, которые с доисторических времен до Средневековья формировали образ чисел, знакомый нам сегодня.
Этот образ не от природы. Он не был записан в вашем теле при рождении. В какой-то степени он произволен – мы могли бы выбрать другую систему для записи чисел, и вы видели бы их иначе.
Более 4000 лет назад вавилоняне придумали шестидесятеричную систему: они записывали числа при основании 60, а не 10. Вавилонская математика была самой продвинутой для своего времени. И ваше мысленное представление о часах, минутах и секундах носит очень глубокий отпечаток их понимания чисел.
А вот что действительно от природы – так это ваша способность усваивать абстрактную математику и понимать ее по-настоящему, то есть перестраивать свой мозг так, чтобы эта самая математика действительно стала частью вас.
Вы думаете, что видите число 999 999 999. В реальности вы расшифровываете абстрактное и сложное математическое понятие. Вы расшифровываете его с безупречной легкостью, мгновенно, не осознавая этого. Целые числа не были вашим родным языком, но вы стали билингвом.
Вот как выглядит удачное усвоение математического понятия. И если пример кажется вам идиотским – это именно потому, что вы действительно его поняли.
Настоящей магии не существует
В начале карьеры молодые математики часто чувствуют себя самозванцами.
Мне прекрасно знакомо это чувство, и в моем случае оно казалось полностью оправданным. Расчеты в моей диссертации были настолько очевидны, что это граничило с мошенничеством. Мои теоремы всегда были наивными, и их доказательство никогда не создавало реальных сложностей.
Меня окружали толпы очень умных людей, занимавшихся очень трудной математикой, в которой я не понимал ничего. Глубокие и сложные статьи мне так и не удавалось прочесть. А если какие-то и удавалось, то лишь потому, что по сути они были проще других.
Мне хотелось уметь заниматься настоящей математикой – по-настоящему сложной. Все, что мне удавалось понять, было простой математикой, математикой для чайников.
В моем изложении это звучит по-дурацки, но мне реально понадобились годы, прежде чем я осознал, что это лишь оптическая иллюзия. Линия горизонта перемещалась вместе со мной. Она всегда соответствовала моему уровню.
Настоящей магии не существует. Стоит вам научиться волшебному трюку, как он перестает быть волшебным. Это, возможно, печально, но придется привыкнуть.