Эти работы принесли Тёрстону Филдсовскую премию в 1982 году. Как и Абелевская премия, это самая престижная награда по математике.
Возможно, Тёрстон – величайший геометр ХХ века, но не только. Сложно передать в нескольких словах его необыкновенное мышление, открытый ум, безграничный гуманизм и любознательность. Насколько мне известно, никакой другой выдающийся математик не участвовал в создании коллекции высокой моды для Иссэя Миякэ.
В 1994 году Тёрстон опубликовал в «Бюллетене Американского математического общества» (Bulletin of the American Mathematical Society) статью на пару десятков страниц «О доказательстве и прогрессе в математике» (On Proof and Progress in Mathematics), описывающую изнутри его мотивацию как математика и мыслительные процессы, задействованные в его работе.
В частности, Тёрстон рассказывает, что, читая научную статью по знакомой тематике, он никогда не читает ее в полном смысле слова. Он предпочитает сосредоточиться на мыслях между строк.
Как только он составляет себе представление о них, весь формализм и подробности структуры статьи вдруг кажутся ему ненужными и избыточными: «Мне было бы проще все написать с нуля, чем пытаться понять, что на самом деле написали авторы».
Уильям Пол (Билл) Тёрстон[4]
«Это как новый тостер, к которому прилагается инструкция на шестнадцать страниц, – продолжает он. – Если вы уже понимаете что-то про тостеры, и этот экземпляр похож на те, с которыми вы встречались раньше, вы просто включите его в сеть и убедитесь, что он работает, а не будете сначала читать все подробности в инструкции».
Эта метафора заслуживает дальнейшего развития.
Тёрстон говорит, что инструкция бесполезна, если вы уже знаете, что такое тостер. Но если вы не имеете ни малейшего представления о тостерах, много ли пользы вам будет от инструкции?
Несомненно, вы с радостью узнаете, что не стоит совать пальцы внутрь и не нужно использовать его во время купания в ванне, но все эти правила безопасности, которые инструкция приказывает вам ВНИМАТЕЛЬНО ПРОЧЕСТЬ ПЕРЕД ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ, никак не помогут разрешить великую тайну тостеров: зачем они вообще нужны?
Я не нашел инструкцию от своего тостера, зато нашел от пылесоса. В ней 64 страницы, но нигде не объяснено, зачем нужен пылесос. Иначе говоря, если бы мы ограничились официальной литературой, пылесосы создали бы нам огромные проблемы. Было бы несколько счастливчиков, способных к использованию пылесоса (те, кто случайно разобрался, что с ним делать), а остальные остались бы в этом полными профанами. Мы приняли бы это с покорностью судьбе.
Сокровенный смысл пылесосов не содержится в инструкции к ним. Это секрет, который мы передаем в устной традиции.
Но этот основной закон обучения, работающий как для пылесосов, так и для математических теорий, остается неизвестным и забытым.
Иной, нечеловеческий язык
Математические тексты написаны не на человеческом языке. Вот почему их так сложно читать.
Официальный язык математики работает не так, как язык, на котором мы говорим, и никто из людей никогда не сможет в полной мере овладеть ими обоими. Этот искусственный язык – чисто человеческое изобретение (пожалуй, одно из величайших за нашу долгую историю), созданное, чтобы исправить уязвимости языка, на котором мы говорим.
Его главная особенность заключается в том, что он заменяет наш обычный способ определять слова на радикально иной.
В повседневной жизни мы не даем точных определений используемым словам. Мы учимся им на примерах. Лучший способ объяснить, что такое банан, – показать его. Этот метод работает неплохо, но порой создает реальные трудности, и вот самая явная из них: если что-то существует только у вас в голове, как показать на это пальцем?
На самом глубинном уровне математика – единственная успешная попытка человечества точно рассказать о вещах, на которые мы не можем показать пальцем. Это одна из центральных тем этой книги, и мы еще не раз к ней вернемся.
Самые важные строки в математическом тексте – это не теоремы и не доказательства, а определения. Математический язык работает как конструктор, где слова по-настоящему определяются, то есть строятся на базе других слов, которые ранее сами были определены. И именно это позволяет говорить о вещах, на которые невозможно показать пальцем.