При таком подходе смысл слов сводится исключительно к их определению. Они становятся лишь абстрактными оболочками, не означающими ровным счетом ничего, кроме того, что сказано в их определении: если наличие хобота – часть определения слона, значит, слон, у которого убрали хобот, немедленно перестает быть слоном.
Этот логический формализм настолько не соответствует гибкости нашего ума, что становится гротескным. У нас нет ни малейшего желания думать так, да мы на это и не способны. Так работать могут только роботы и компьютеры. А мы ни то и ни другое.
Вот цена, которую приходится платить, чтобы корректно говорить о невидимом. Хотя логический формализм чужд нам по сути, мы можем научиться манипулировать им, точно так же, как можем научиться взаимодействовать с роботами и компьютерами. Они раздражают нас, мы находим их смешными, но в конце концов привыкаем к их психологии и все-таки весьма довольны, что они у нас есть и служат нам.
Научиться видеть
Понимать математику – значит научиться обращаться с этими словами-оболочками, определенным логическим формализмом, как если бы речь шла о словах родного языка. Научиться наполнять эти слова интуитивным и конкретным смыслом. Научиться видеть предметы, которые они обозначают, как будто они сейчас перед нами. Это подразумевает особые техники, о которых мы расскажем в следующих главах.
«Видеть» – это не всегда самое удачное слово, потому что не все конкретные объекты видимы. Сладкий вкус, текстура материала, ритм, песня, знакомый запах или ощущение проходящего времени – это тоже вполне конкретные переживания.
Способность соотносить воображаемые физические ощущения с абстрактными понятиями называется синестезией. Некоторые люди видят буквы в цвете. Другие воспринимают дни недели расположенными в пространстве вокруг себя.
Распространенное убеждение гласит, что синестезия – редкий феномен, связанный с некоторыми психическими нарушениями. На самом деле это универсальное явление, лежащее в основе человеческого познания. Вот маленький тест, чтобы определить, способны ли вы к синестезии: можете ли вы, глядя на последовательность букв в слове «шоколад», ощутить звук, цвет, аромат? А при виде последовательности символов «999 999 999» возникает ли у вас ощущение чего-то большого?
Что действительно редко встречается, так это осознание нашей способности к синестезии и стремление систематически ее развивать.
Математическое действие – это разновидность мыслительной йоги, цель которой – вернуть нам контроль над нашей способностью к синестезии.
Ничего из того, что я здесь рассказываю, не должно стать для вас сюрпризом, потому что все это вам знакомо. Когда вы научились «видеть» число 999 999 999, а не завитушки, выписанные ручкой по бумаге, – это произошло благодаря вашей способности к этой мыслительной йоге.
Вы смогли сделать это в раннем детстве и должны быть все еще способны к этому сейчас.
Билл Тёрстон был одним из величайших мастеров этого искусства. В главе 10 я расскажу вам кое о чем из того, что ему удалось увидеть. Это настолько необычайно, что вам будет трудно мне поверить.
Нам предстоит еще многому у него учиться.
Создано людьми, создано для людей
Вот где его замечание о тостерах обретает полный смысл. Когда человек сталкивается с математическим текстом, задача не в том, чтобы прочесть его с первой до последней страницы, как читал бы робот. Задача в том, чтобы уловить мысли между строк, то есть придать интуитивный смысл использованным словам и описанным ситуациям.
Но математические тексты написаны не роботами и не для роботов. Они написаны людьми и для людей. Без нашей способности придать им смысл, без мыслей между строк математических текстов не было бы, как не было бы музыкальных партитур без музыки.
Лучший способ поделиться этим человеческим пониманием – прямое общение между людьми. Это общение о математике ведется на языке людей. Как рассказывает Тёрстон, эффективнее всего оно бывает, когда общаются только двое:
«Наедине люди используют каналы коммуникации, далеко выходящие за пределы формального математического языка. Они жестикулируют, рисуют картинки и диаграммы, издают звуки, используют язык тела».
Когда кто-то только что доказал новую важную теорему, отмечает Тёрстон, зачастую он может объяснить решение за несколько минут в частной беседе двух специалистов по этой теме. Но чтобы объяснить тот же самый результат в докладе перед аудиторией специалистов, нужно закладывать час. А чтобы передать этот результат письменно, нужна статья на 15–20 страниц, на понимание которой тот же самый специалист потратит несколько часов или даже дней.