Перейти от масштаба минут к масштабу дней – значит потратить в 500 раз больше времени. На самом деле все еще хуже, потому что в процессе мы теряем энтузиазм.
Волшебный флюид
Понимание математики – это не какой-то волшебный флюид, передающийся взмахом руки, но оно весьма на него похоже. Если хочешь вникнуть в математическое понятие, самый короткий путь идет через свободную дискуссию с тем, кто реально его понимает.
Профессиональным математикам это хорошо известно. Истинный предмет их интереса – их собственные трудности в понимании математики. У них ровно та же проблема, что у двоечников. Только они знают решение.
Когда я учился в аспирантуре, я смог продвинуться в понимании математики не благодаря чтению книг. Тем, что я смог совершить впоследствии, я во многом обязан беседам с Рафаэлем. Мне очень повезло провести столько времени с кем-то настолько компетентным и готовым щедро делиться своим знанием.
Объяснения Рафаэля никогда не следовали строгим правилам. Иногда они были неверны. Зато всегда были просты и человечны. Они придавали смысл. Порождали желание узнавать. Рафаэль объяснял мне, что на самом деле означает та или иная теорема. Он рассказывал, как когда-то была придумана та или иная идея и как ее следовало понимать «по сути».
Понимать что-то по сути – значит быть способным интуитивно объяснить это самому себе и назвать причину, по которой это истинно, уловить суть всей истории. Если бы математика была только вопросом логики, такой задачи бы не существовало. Из логического рассуждения нельзя извлечь никакой отдельной сути.
Объяснения по сути, с размахиванием руками, подразумевают, что у слушающего останется неопределенность. С их помощью рассказывают, зачем нужны тостеры и как в них кладут бутерброды, но никогда не дается список деталей тостера. Если вам это действительно интересно, можете обратиться к Определению 7.4 на странице 138.
Важность непосредственного общения объясняет организацию и образ жизни математического сообщества. У астрономов есть телескопы, у физиков есть ускорители элементарных частиц, а у математиков есть свой великий научный инструмент – путешествие.
Путешествия математиков позволяют новым идеям распространяться с эффективностью, которой невозможно добиться другим способом. Часто они бывают долгими. Нужно время, чтобы поболтать, выпить не одну чашку кофе, порисовать на доске и вернуться назавтра к дискуссии с вопросом, который посетил нас при пробуждении. Один японский математик, Кёдзи Сайто, хотел понять мысли между строк в моих статьях – и поэтому он часто приглашал меня в Киото. А мне это позволило лучше понять мысли между строк уже в его статьях. Такие путешествия – часть жизни математиков.
Ясное и наводящее страх
В том же самом классе, где безмолвно страдает двоечник, вполне вероятно, есть отличник, который мог бы все объяснить ему простыми словами. Так почему такого разговора почти никогда не происходит?
Определенную роль играет уверенность двоечника, что он по природе хуже. Он слишком подавлен, чтобы задать правильные вопросы – по-настоящему простые, те самые, которые выглядят слишком глупыми, а на самом деле в них вся суть.
Часть ответственности лежит и на преподавателях. Порой они поддерживают иллюзию, что математика может ограничиться формальными рецептами. Всем нам знакомо зеркальное отражение невероятной пропасти, отделяющей способных к математике от неспособных, – эта же пропасть отделяет хороших учителей математики от плохих.
Попробуем объяснить. В математическом мире тостеры поставляются разобранными на детали. Каждый должен собрать свой экземпляр у себя в голове. Плохой учитель математики – тот, который пересказывает 198 этапов сборки тостера и делает вид, что на этом вся история заканчивается. Хороший – тот, кто прилагает все усилия, чтобы объяснить, что такое вообще тостер. Он постоянно смотрит в глаза ученикам, потому что именно по их взгляду он увидит, поняли ли они. Первый читает курс для роботов, второй – для людей.
Вываливать 198 этапов сборки тостера на человека, который не понимает его назначения, – акт неслыханного насилия. Все равно что воспитывать ребенка, не рассказывая ему сказок.