Все математики развивают у себя подобные техники, но редко их осознают и редко могут объяснить. А вот Гротендик дает нам инструкцию.
Этот настрой психики совершенно определенно лежит в основе его рабочего метода. В самых общих чертах – вот в чем он состоит.
«Сам я более или менее уверен в моем утверждении»
Открыть книгу по математике на теме, в которой вы ничего не понимаете, – это примерно как оказаться за пультом управления пассажирского самолета или АЭС. Там куча кнопок и циферблатов, у вас нет ни малейшего представления об их назначении и ни малейшего желания наделать глупостей. Вы бы и хотели понять, но не понимаете. Нормальная реакция – сидеть смирно и, главное, ничего не трогать. Прежде чем трогать, надо все изучить и обдумать.
Но если вы посадите за пульт управления двухлетнего ребенка, он отреагирует иначе. Он перенажимает на все кнопки, в первую очередь на красные и на те, которые мигают.
Рекомендация Гротендика – поступать как двухлетний ребенок. Желая что-то понять, Гротендик испытывает удачу напрямую, без комплексов, как поступил бы маленький ребенок. Он не ждет, пока что-то поймет, прежде чем броситься туда с головой. Он идет не раздумывая, отчасти наобум:
«Когда в математике или в чем угодно та или иная вещь пробуждает во мне любопытство, я как будто ее расспрашиваю. Умны ли мои вопросы, не покажутся ли они кому-нибудь глупыми или не слишком продуманными, – об этом я не тревожусь».
«Бывает, я задаю ей вопрос-утверждение; это как проба лотом с борта корабля. Сам я уверен в нем настолько, насколько, к моменту его формулировки, я продвинулся на пути к пониманию общей картины».
«Часто, особенно в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным – достаточно сформулировать его, чтобы в этом убедиться».
Еще бы понять, что в его понимании означает расспрашивать вещи, задавать вопросы и брать пробы лотом.
На всем протяжении книги Гротендик описывает математическую работу как последовательность конкретных физических действий. Но что точно значит расспрашивать вещи? Если я хочу расспрашивать вещи, как мне поступать? При близком рассмотрении это весьма загадочное выражение, почти настолько же загадочное, как его зеркальный двойник, которым также пользуется Гротендик: вслушиваться в голоса вещей.
И кстати, раз уж мы здесь, – что такое «математическая вещь»? Где можно встретить эти самые вещи и как вступить с ними в общение?
Гротендик никогда не утруждает себя уточнением, вероятно, потому, что он настолько привык вести диалог с этими вещами, что уже забыл, что и ему самому пришлось этому учиться.
Математические вещи – это вещи, которые люди, не связанные с математикой, называют математическими понятиями или математическими абстракциями. Речь может идти о числах, множествах, пространствах, геометрических формах различной природы или других типах абстрактных структур. А вот математики любят называть это математическими объектами, потому что представление этих вещей в роли конкретных объектов, которые можно потрогать, облегчает понимание.
Расспрашивать вещи, вслушиваться в голоса вещей – значит пытаться представить их, изучить мысленный образ, который у нас возникает, попытаться сделать его прочнее, точнее, обнаружить в нем больше подробностей, словно пытаясь вспомнить сон.
Удовольствие ошибаться
Нужно выразить этот подход в конкретных терминах. Язык «Урожаев и посевов» настолько образен, что может создаться впечатление, будто автор намеренно стремится сохранить недосказанность.
Такое впечатление ошибочно. Гротендик изо всех сил старается быть точным. Его загадочный лексикон служит для решения насущной проблемы – его текст говорит о действиях, которые мы производим у себя в голове, и мысленных образах, которыми мы манипулируем, но в нашем языке нет нужных слов. Не существует специального лексикона, чтобы простыми словами рассказать об этих действиях и этих образах. Никто не позаботился сказать нам, что у нас есть право об этом говорить.
Позиция маленького ребенка – это не аллегория, а совершенно конкретный настрой ума.
Базовый принцип прост, но представляет собой настоящую революцию. Это тот тип идей, о которых почти никто не задумывается, потому что это слишком просто и противоречит нашему инстинкту. Тот тип идей, который как раз и способен все изменить, на всех уровнях обучения математике, включая совсем начинающих и так называемых неспособных.