Когда мы узнаём новое математическое понятие, нам сложно его представить. Оно является нам в форме абстрактного определения, последовательности слов на странице или предложения, произнесенного преподавателем. Эта последовательность слов не имеет для нас никакого смысла. Она ни о чем нам не говорит.
Обычно учащиеся не чувствуют себя вправе представлять математические объекты, которых они еще не понимают. Они ощущают необходимость узнать больше, прежде чем осмелиться их увидеть. А пока удовлетворяются расшифровкой. Они ничего не понимают, у них трещит голова, но они говорят себе, что если будут упорствовать, то смогут собрать самую важную информацию, а пытаясь ее запомнить, может быть, в конце концов поймут. Только вот это никогда не работает.
Гротендик поступает иначе. Он знает, что ни к чему накапливать информацию о вещах, которые не удается увидеть. Вместо этого он разрешает себе представлять эти вещи сразу же, ничего не дожидаясь, даже если он твердо знает, что ему это не удастся, а его способ их представить будет до нелепого неверным.
Он совершенно не боится ошибаться. Более того, он уверен, что непременно ошибется, и именно к этому и стремится.
Гротендик активно ищет ошибку, как маленький ребенок ищет, каких бы еще наделать глупостей. В своем исследовании математического мира каждый раз, как он чувствует что-то странное или интригующее, неясное или неудовлетворительное, противоречивое или неприятное, он направляется именно туда.
Когда в его видении мира что-то идет не так, это вызывает в нем чувство беспокойства. Он углубляется в поиск, чтобы обнаружить источник этого беспокойства, так как это единственный способ унять его. Обнаружение ошибки – это источник удовольствия и облегчения.
«Момент, когда тебе наконец открывается ошибка в работе, можно смело назвать решающим. Для всякого труда, связанного с открытием, это – момент истинного творчества. И не так уж важно, о чем здесь идет речь, будь то математическая работа или труд, посвященный открытию себя самого. Это – то самое мгновение, когда наше знание, о чем-то или о ком-то, вдруг обновляется».
То, что Гротендик пишет об ошибках, имеет вселенский размах, далеко выходящий за пределы науки. Эти слова следовало бы выгравировать на фасадах школ:
«Бояться ошибки – по сути то же, что бояться истины. Тот, кто боится промахнуться, неспособен сделать открытие. Страх оступиться придает ошибке каменную неуязвимость».
Мало кто знает, что в математике основные препятствия имеют психологическую природу, и не только в начале, а на протяжении всего пути, до самого высокого уровня науки. Взрослея, мы боимся выглядеть глупо. Учимся стыдиться своих ошибок. Учимся скрывать, в том числе от самих себя, что мы почти ничего не поняли. Чтобы добиться успехов в математике, надо научиться дезактивировать именно этот рефлекс все скрывать. А это очень сложно.
В возрасте, когда мы еще были вольны задавать глупые вопросы, в том числе сотню раз подряд задавать один и тот же вопрос, неспособных к математике не было. Великие математики изобретают и внедряют специальные техники, чтобы вновь обрести эту детскую невинность. Все они заявляют, что это необходимо. Мы вернемся к этому в главе 13.
Вопрос пластичности
Когда Гротендик говорит об «ошибке внутри нас», это не имеет никакого отношения к логике. Это не ошибка в вычислении и не ошибка в рассуждении. Ошибка, о которой говорит Гротендик, – это ошибка интуиции, ошибка видения: образ вещей, который мы себе создали, неверен.
Как мы будем наблюдать на протяжении всей этой книги, главная задача понимания математики – суметь постепенно изменить наш способ представлять себе предметы, сделать его яснее, точнее и ближе к реальности.
Иногда говорят, что полушария нашего мозга якобы функционируют по-разному. Левая часть мозга специализируется на логическом мышлении и счете, а правая – на ассоциативном и интуитивном мышлении.
Это нелепость. Столь фантазийное толкование нашей анатомии родом из 1960-х годов и с тех пор уже дискредитировано. На самом деле две половины нашего мозга очень похожи друг на друга и на самом глубинном уровне работают по ассоциативному и интуитивному принципу. Органа, который позволяет понимать мир логически, не существует. Если вы на него рассчитываете, чтобы продвинуться в математике, ждать придется долго.