Наша удивительная способность обучаться и изобретать берет свое начало в пластичности мозга, то есть в неосознанной способности без конца перестраивать ткань ассоциаций, связанных с образами и ощущениями, которая, как в буквальном, так и в переносном смысле, и есть подлинная структура нашего мозга и нашей мысли.
Постижение нового – это всегда вопрос пластичности мозга. Ошибка играет здесь основную роль – она и есть двигатель пластичности. Научиться видеть, ходить, пользоваться ложкой, завязывать шнурки, говорить, читать и писать – все это всегда означает перестройку мозга. Она никогда не происходит сразу. Ребенок не умеет ходить, пока не попробует и не потерпит неудачу. Ему нужно падать, чтобы научиться стоять. Только накопление ошибок позволяет ему постепенно развить интуитивное чувство равновесия.
Как любой психомоторный навык, осмысление нового математического понятия идет через перестройку интуиции, что предполагает фазу поисков наощупь. Если переформулировать слова Гротендика об ошибке применительно к ходьбе, они становятся кристально ясными:
Бояться упасть – по сути то же, что бояться ходить. Тот, кто боится разбить себе нос, уже тем самым неспособен научиться ходить. Именно решение остаться сидеть на месте придает изначальной неловкости форму психомоторного нарушения.
Роль логики
В мире мысленных образов законы физики неприменимы. Можно представить что угодно, в том числе взаимоисключающие вещи, и не споткнуться о них. Можно не бояться ошибиться.
Именно в этой точке математический подход расходится с нашим обычным способом использовать интуицию. Математики придумали метод, который позволяет обнаружить ошибки, пока они у нас в мыслях. Он опирается на письмо, а точнее – на письмо на официальном языке математики, который строится вокруг логического формализма.
Логика нужна не для того, чтобы думать. Она нужна, чтобы обнаружить, в каком месте мы думаем неправильно.
Когда Гротендик берет пробы лотом, чтобы расспросить вещи, которые хочет понять, именно письмо дает ему ответ.
«Часто, особенно в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным – достаточно сформулировать его, чтобы в этом убедиться. Стоит лишь записать его на бумаге, как несообразность предположения бросается в глаза – а пока не запишешь, какая-то рябь, как при головокружении, словно нарочно скрывает эту очевидность».
«После этого, возвращаясь к задаче, чувствуешь, как у тебя прибавилось уверенности: есть надежда уже не так безбожно промахнуться со следующим ответом».
В отличие от биолога, который пишет статью после завершения экспериментов, математик пишет в разгаре своей исследовательской работы, потому что письмо «и есть» эта работа. Вот что говорит об этом Гротендик:
«Роль письма не в том, чтобы запечатлеть результаты исследования, но сам процесс исследования»[10].
«Я никогда не скупился на усилия, чтобы как можно тщательнее обозначить посредством математического языка эти образы и понимание, которое они дают»[11].
«Именно в этом непрерывном усилии сформулировать несформулированное, уточнить пока еще расплывчатое, возможно, кроется динамика, характерная для математического труда (а также, возможно, для любого творческого интеллектуального труда)»[12].
Математическое письмо – это работа по транскрипции живой (а потому смутной, нестабильной и невербальной) интуиции в текст, точный и стабильный (а потому мертвый, как ископаемое).
А точнее, это была бы просто работа по транскрипции, если бы интуиция сразу была точной и правильной. Но интуиция никогда не бывает сразу точной и правильной. Сначала она расплывчата и ошибочна – впрочем, она всегда отчасти такой и остается. По мере записывания интуиция становится все менее расплывчатой и все менее ошибочной. Это медленный и постепенный процесс.
Математическое творчество – это постоянное чередование усилия воображения (умения увидеть предметы) и усилия вербализации (умения облечь увиденное в слова).
Этот процесс меняет и нашу интуицию, и наш язык. Мы учимся видеть одновременно с тем, как учимся говорить. Мы учимся видеть новые вещи и придумываем язык, который позволяет их назвать, – тот новый язык, который для Гротендика «теперь должен возникнуть из кажущегося небытия неосязаемого тумана»[13].