С логической точки зрения словари – те еще финансовые пирамиды. Если бы мы реально рассчитывали на них, желая узнать, что такое банан, тепло или истина, мошенничество давно бы раскрылось.
Но мы поступаем не так. Наш подход не определяется логикой. Мы не учим слова по их определениям. Мы усваиваем язык через постепенное погружение, через последовательность разъяснений. Наш мозг обладает способностью видеть вещи до того, как мы сумеем их назвать, узнавать слова до того, как мы поймем их смысл, и постепенно соотносить слова с тем, что мы видим.
Мы начинаем с нуля – в буквальном смысле. Мы начинаем не со словарей. Мы начинаем с жизни, то есть с общего опыта, который объединяет нас с остальными.
Начать с нуля
Математические определения похожи на определения в словарях, только с одним нюансом – они действительно определяют.
В отличие от словарей, математические тексты не довольствуются установлением связей между уже существующими словами. Они не ограничиваются вещами, на которые можно указать пальцем и которые присутствуют в общем опыте.
Математическое определение – это не комментарий и не объяснение. Это точная инструкция по сборке нового мысленного образа и акт рождения нового слова, которым решено его назвать. (На практике существующее слово часто используется заново, получая новый смысл, который может не иметь прямого отношения к смыслу этого слова в повседневном языке.)
В этом плане математические определения обладают силой творения: они воплощают вещи в жизнь. Может показаться смешным, что мы говорим об этом так помпезно, но именно в этом и состоит задача: когда видишь вещи, которых другие не видят, передача знания о них подразумевает, что нужно сделать так, чтобы эти вещи стали существовать в голове других.
Подход очень прост: объяснить другим, как начать с вещей, которые они уже способны видеть, чтобы мысленно построить новые вещи и постепенно научиться видеть и их тоже.
Огромный коэффициент расширения
Теоретически все должны быть способны читать математические тексты. В отличие от словарей, они не содержат закольцованных определений. Не требуется никаких предварительных знаний, а при необходимости читателя отсылают к предыдущим данным, в которых он сможет найти определение слов, которых он еще не знает. Если инструкции ясны и все подробности в наличии, для понимания не должно быть никаких препятствий.
Однако на практике при написании математического текста с первых же строк возникает гигантская проблема: объяснить мысленный образ словами чудовищно сложно.
«Порой нужен огромный коэффициент расширения, чтобы перевести мой образ мыслей в то, что будет возможно сообщить кому-то другому», – замечает Тёрстон.
Результат зачастую неудобоварим. Когда Тёрстон говорит об «огромном коэффициенте расширения», это не значит, что текст будет в два или три раза длиннее, – это значит, что перевод в письменную форму того, что кажется нам очевидным, может быть в десять, сто или тысячу раз длиннее, чем изложение, которое мы сформулировали бы для себя мысленно. К тому же в стороне остается множество подробностей, которые мы никогда не осмелимся сформулировать.
Описанный Тёрстоном феномен ни в коей мере не прерогатива высокой науки. Он проявляется, как только мы пытаемся точно записать простейшие мысленные образы.
Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать – увы, это верно и для образов, существующих только у нас в голове.
Чтобы вы могли в полной мере осознать это положение, вот вам первое упражнение на одном из наших любимых примеров. Сколько вам нужно времени, чтобы представить свои действия при завязывании шнурков? Две секунды? Три? А теперь возьмите бумагу и карандаш и попытайтесь точно описать, в чем заключается движение, чтобы абсолютный новичок смог следовать вашим инструкциям и получить тот же результат. Самый сложный вариант упражнения – использовать только слова. Но и простой вариант, в котором разрешены рисунки, очень сложен.
Осознать степень этой сложности – значит понять нечто основополагающее и весьма утешительное: математический текст может выглядеть чудовищно сложным и все же выражать вполне простые мысли.
По сути, нет никакой причины бояться математических текстов. Чтение между строк, о котором говорит Тёрстон, не просто возможно – оно неизбежно намного проще, чем сам текст. Но прежде чем прийти к этому пониманию, такому простому, и прежде чем у вас появятся правильные мысленные образы, вам придется двигаться наощупь.