Искусство мыслить ясно
Если вы не сумели найти слова, чтобы объяснить, как вы завязываете шнурки, если у вас нет ни малейшего желания это делать или вы все бросили на полпути – в этом нет ничего удивительного.
Искусство писать о математике, то есть искусство передавать свои мысленные образы ясно и точно, чтобы и другие могли овладеть ими и воспроизвести их, – это воистину великое искусство.
Трудным его делает тот факт, что ваши мысленные образы далеко не так точны, как вы думаете. Что мешает узлу на ваших шнурках развязаться, если он завязан правильно? Если вы этого не знаете – значит, вы не знаете в полной мере, как завязан этот узел.
Как объясняет Гротендик, работа по записыванию математики – на самом деле двойная работа по прояснению мыслей и оттачиванию языка. Это тонкое упражнение по психомоторной координации, и нужны годы тренировок, чтобы им овладеть. Хорошая новость: за это может взяться любой и, при наличии необходимых инструментов, двигаться вперед на протяжении всей жизни.
Научиться писать о математике – значит научиться мыслить ясно. Было бы жалко себя этого лишать.
Со временем благодаря собственному опыту становится понятно и то, почему математические тексты написаны с таким странным формализмом, на этом языке, созданном для роботов: на самом деле выбора особо и нет.
Чтобы убедиться в этом, вернемся к еще одному нашему любимому примеру – понятию формы, которое вы открыли еще в раннем детстве. Давайте представим параллельный мир, где вы будете действительно первым человеком, открывшим концепцию формы. Как бы вы объяснили словами свою методику различения звездочек и квадратов и помещения правильных фигурок в правильные отверстия?
Игра на терпение
В этом воображаемом мире визуальная культура настолько бедна, что игра в формы называется игрой на терпение, поскольку единственный известный метод справиться с ней – часами пробовать наобум.
Здесь не существует никакого геометрического языка. Слов «круг», «квадрат» и «треугольник» еще не придумали. Слово «сердце» есть, но только для обозначения того, что стучит у нас в груди. Если вы используете его, чтобы обозначить одну из фигурок игры на терпение, вас не понимают. То же и со словом «звезда». Звезды светят на небе, но никто не видит связи с игрой на терпение. Вопрос даже не в том, сколько у звезд лучей: пять, шесть, семь или восемь – люди очень далеки от этого. И кстати, откуда вообще могла взяться мысль, что у звезд якобы есть лучи? Это о чем вообще?
В вашем понимании мира, на вашем внутреннем языке вы допускаете, что у звезд есть лучи, и вы узнаете пятилучевую звезду в одной из фигурок игры на терпение. Почему бы и нет? Только вот эта идея пока существует только у вас в голове.
Остальные жители этого мира не слепы. Биологически они способны видеть те же формы, что и вы, но еще не научились это делать. Их мозг получает ту же необработанную зрительную информацию, но не может ее структурировать.
«Смотри, эта фигурка в форме звездочки. А здесь отверстие тоже в форме звездочки. Если ты возьмешь эту фигурку и поместишь в это отверстие правильной стороной, она войдет сама, с первого раза».
Такие объяснения не помогут. Люди не увидят звезду у себя перед глазами. Неважно, что они живут в том же мире, что и вы, – у них иной опыт. Они будут глупо улыбаться, глядя, как вы справляетесь с игрой без угадывания. Для них вы будете волшебником.
Теория осязания
В отсутствие геометрии жители этого параллельного мира научились компенсировать ее, развивая тактильные ощущения. Всем школьникам преподают теорию осязания. Они учатся проводить по поверхностям пальцем и распознавать текстуры. Они знают, что такое твердое, мягкое, гладкое, шероховатое, рифленое, волокнистое, бугорчатое, рыхлое, пористое.
Понимая соответствующие физические ощущения, они знают, что такое впадина и что такое вершина. Это немного, но это неплохая стартовая точка, нам хватит.
Сила математического отношения к миру в том, что можно позволить себе расширить язык новыми словами, которым дается точное значение. Опираясь на вещи, которые люди уже видят, можно построить новые, которых они еще не видят, но могут ими манипулировать через определения.