Понять математический текст, определяющий звезду как форму, одна из сигнатур которой создается повтором схемы «вершина, впадина» n раз, – значит суметь забыть это сложное определение и непосредственно ощутить, что такое звезда, по команде, по простому упоминанию слова «звезда».
Истинное удовольствие от математики – это удовольствие, которое вы испытываете в тот день, когда вдруг осознаете, что способны увидеть звезды у себя в голове, хотя никогда раньше их не видели.
Тайные приемы математиков направлены на то, чтобы упростить и ускорить это интуитивное понимание. Это техники, которые позволяют научиться видеть с опорой на средства языка. Далее в этой книге мы приведем их примеры.
Я знаю, что это кажется слишком прекрасным, чтобы быть правдой. Вам трудно поверить, что вы способны на подобный подвиг. И все же так и есть. У вас есть способность опереться на абстрактное определение и интуитивно почувствовать, что́ оно означает. Вам уже это удалось.
То число, которое вы можете по команде вызвать у себя в голове, взяв миллиард и отняв от него единицу, – никто и никогда не описывал его вам никак иначе, чем в виде сложного нагромождения абстрактных математических понятий.
Его десятичная запись 999 999 999, та самая, которая создает у вас впечатление, что это число физически присутствует на странице, прямо перед вами, всегда была лишь обобщением длинного формального определения. Такая запись характеризует это число как результат последовательности операций сложения и умножения, от которой у вас вскипит мозг, если вы попытаетесь ее представить:
Девять плюс девять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, плюс девять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять, умноженное на десять.
На бумаге это число – абстрактное, логическое и холодное нагромождение. Но у вас в голове этот объект прост, конкретен и очевиден.
Глава 9
Что-то идет не так
Когда я учился в школе, мне часто повторяли, что я неправильно держу ручку и потому пишу как курица лапой.
Я решил изучать математику, так как считал, что меня научат правильно «держать ее в голове». Я ее держал по-своему, получалось неплохо, но я совершенно не был уверен, что мой способ правильный.
Больше всего меня изумляло, как во время учебы, так и во время научной деятельности, что я не получил никакого формального руководства по этому поводу, словно тема была несерьезной или не заслуживала того, чтобы тратить на нее время.
Возможно, я был наивен, но мне казалось, что главная проблема математики заключается не в том, чтобы выяснить, верна ли та или иная теорема, а чтобы понять, что делает эти теоремы такими простыми для некоторых и такими сложными для всех остальных. И потому, окончив школу и поступив на первый курс, я ожидал, что правильный способ мысленно манипулировать математическими понятиями станет темой первого же занятия. Разумеется, для начала мне объяснят, как надо делать!
Но первое занятие было посвящено совершенно другой теме. Официальная математика считает точкой отсчета не невидимые действия, выполняемые в мыслях, а формальную логику и теорию множеств. Объяснение, которого я ждал, не появилось и на следующем занятии, и на последующем тоже. В конце концов я перестал ждать.
И все же этот вопрос всплыл снова через несколько недель, когда мы подошли к теме векторных пространств любой размерности. И тогда он начал серьезно меня волновать.
Векторное пространство размерности 1 – это прямая. Векторное пространство размерности 2 – плоскость. Векторное пространство размерности 3 – трехмерное пространство, в котором мы живем. Или скорее пространство, в котором мы склонны считать, что живем, хотя Эйнштейн и объяснил нам, в чем это неверно.