Нет никаких причин останавливаться на числе 3. Используя логический формализм, можно двигаться дальше. Можно определить, что такое пространство размерности 4, размерности 5, размерности 6 и так далее. Если есть такое желание, можно заниматься геометрией в размерности 24, в размерности 196 883 и вообще в размерности n, где n – любое целое число.
Эти пространства не какие-то лабораторные диковинки. Это основополагающие понятия, необходимые для понимания окружающего нас мира, и вот уже сто лет они занимают в науке и технологии настолько важное место, что часто входят в базовый лексикон на тех же правах, что и целые числа.
Если вы никогда не учились мыслить в заданной размерности, вы прошли мимо одной из величайших радостей существования. Все равно что никогда не видеть моря или не есть шоколада.
Видеть в пространстве
Когда занимаешься геометрией в размерности 2 или 3, есть простейший способ показать, о чем идет речь: нарисовать.
Например, в пространстве размерности 3 можно собрать вместе 20 равносторонних треугольников, чтобы создать двадцатигранник примерно такого вида:
Этот примечательный объект, известный с античных времен, называется правильным икосаэдром. Когда вы смотрите на рисунок, вам кажется, что вы видите висящий в пространстве икосаэдр. Но на самом деле у вас перед глазами не это. Вы смотрите на страницу размерности 2, на которой находится изображение икосаэдра. А точнее, это изображение представляет собой то, что называют проекцией: тень (в размерности 2) от воображаемого икосаэдра (в размерности 3).
Вашему мозгу запросто удается реконструировать объекты в размерности 3 из их проекций в размерности 2.
Пересматривая свои отпускные фотографии, вы словно видите в реальности сцены, разворачивающиеся в размерности 3. Это не требует от вас никакого особого усилия. Это не утомляет вас и не создает никаких метафизических проблем. Вы никогда не говорите себе, что эти сцены происходят в размерности 2 и что все, что вы словно бы видите в размерности 3, – абстракция, мысленная реконструкция, представляющая собой исключительно плод вашего воображения. У вас не возникает впечатления, что все, что вы словно бы видите на фото, – галлюцинация.
Ваш мозг может видеть даже то, что не показано на изображении. Глядя на проекцию икосаэдра, вы можете не только его увидеть, но и мысленно повернуть, хотя это и требует некоторой концентрации. Сам рисунок остается полностью неподвижным. Это не мешает вам прекрасно понимать, что я имею в виду, говоря «повернуть икосаэдр».
Например, если вы повернете икосаэдр на одну пятую часть оборота вокруг вертикальной оси, вы получите исходный икосаэдр. Эта инвариантность относительно вращения – хорошо известное свойство икосаэдра.
Если бы я просто определил правильный икосаэдр как абстрактное объединение 20 равносторонних треугольников, не дав вам способа представить его зрительно, вам было бы намного сложнее понять, что такое инвариантность относительно вращения. С рисунком это намного проще.
Преобразование математических определений в мысленные образы помогает понимать их. Зрительная интуиция делает очевидными математические свойства, которые совершенно не были бы очевидными без мысленного образа. Когда вам не удается вообразить математические объекты, у вас создается впечатление, что вы не вполне их понимаете. И оно оправданно.
Геометрия для слепых
Когда мы впервые слышим о геометрии в размерности 4, мы задаемся вопросом, что же представляет собой это самое четвертое измерение. Это время? Или что-то еще?
Правильный ответ: четвертое измерение – это ровно то, что мы хотим, чтобы оно собой представляло.
Когда мы занимаемся геометрией в размерности 2, то есть на плоскости, точка определяется двумя координатами, которые обычно называются абсциссой и ординатой, или x и y, и обозначают ровно то, что мы хотим, чтобы они обозначали:
когда мы смотрим на географическую карту, x обычно обозначает долготу, а y – широту;
когда мы чертим фасад здания, x обычно обозначает ширину, а y – длину;
когда мы описываем развитие популяции кроликов, x обычно обозначает время, а y – количество кроликов.