Точно так же в пространстве размерности 10 точка определяется 10 координатами, которые обычно называют x1, …, x10. Если мы хотим, чтобы эти координаты что-то обозначали, они могут обозначать ровно то, что мы пожелаем.
Если вы хотите описать географическую прогрессию нашествия кроликов, вам необходимо мыслить в размерности 4, потому что вам нужны 4 координаты: долгота, широта, время и плотность популяции кроликов.
Будет совершенно верно сказать, что геометрия в размерности 4 – абстракция. Но это простая и естественная абстракция. Ваш мозг может принять идею размерности 4 и даже счесть ее конкретной, точно так же как принимает и считает конкретным все то, что в реальности совершенно таковым не является. Географическая прогрессия нашествия кроликов – это абстрактное понятие. Вы считаете его конкретным, потому что по сути ваш мозг уже готов согласиться, что размерность 4 действительно существует и конкретна.
Вопреки стереотипу, вовсе не абстрактность делает математику трудной для понимания. Абстракция – наш универсальный способ мыслить. Слова, которыми мы пользуемся, – это все абстракции. Говорить, составлять предложения – значит манипулировать абстракциями и объединять их. Геометрия в размерности 4 ничуть не более абстрактна, чем геометрия в размерности 2. Проблема геометрии в размерности 4 не имеет ничего общего с абстрактностью. Ее проблема в том, что ее сложно представить и сложно нарисовать.
Уроки геометрии в высокой размерности – это уроки геометрии для слепых.
Они похожи на теорию осязания из предыдущей главы: вместо того чтобы опираться на зрительную интуицию, они используют математический язык и формализм, чтобы определить геометрический лексикон, чей смысл всегда очень точен, но зрительная интерпретация не возникает сама собой. Все можно описать формулами с опорой на координаты. Например, существует формула, определяющая расстояние между двумя точками на основании их координат.
Сначала нашему мозгу непривычно работать с новым лексиконом. Он не умеет интуитивно присваивать словам визуальное значение. Поэтому геометрию в размерности 4 нельзя преподавать так же, как геометрию в размерности 2, где фигуры и зрительная интуиция играют центральную роль.
Например, в размерности 4 существует аналог икосаэдра. Это многогранник с 600 гранями, очень правильный и еще более красивый, чем икосаэдр. А скорее следовало бы сказать, что этот объект представляет собой «гипермногогранник», у которого 600 «гиперграней». Эти гиперграни – объекты размерности 3, которые оказываются правильными тетраэдрами, то есть правильными пирамидами с треугольным основанием. Таким образом, у каждой гиперграни есть 4 грани, являющиеся правильными треугольниками, а к каждой из этих граней примыкает другая гипергрань. Всего у нас 600 гиперграней, 1200 граней, 720 ребер (сторон треугольников) и 120 вершин.
Трудно представить?
Если вам это поможет, вот рисунок:
Речь идет о тени в размерности 2 от объекта размерности 4 (или скорее об одной из его теней, так как тень предмета зависит от его расположения и направления света).
Вам, конечно, хотелось бы взглянуть на рисунок и без усилий увидеть перед собой «гиперикосаэдр», повисший в четырехмерном пространстве.
Я бы тоже очень хотел увидеть его перед собой. Я хотел бы почувствовать его многомерную плотность, охватить его одним взглядом и понять его форму во всей глобальности. Увы, этого не происходит.
Мой мозг не способен мгновенно и без усилия выстроить мысленный образ объекта размерности 4 на основании его тени в размерности 2. Я научился воспринимать физическое присутствие гиперикосаэдра, но другим способом, без использования рисунка.
Абсолютно неверные образы
Изучая математику, я быстро осознал, что я такой же, как все. Я не умел видеть геометрические объекты в высокой размерности так же, как в размерности 2 или 3.
Но я осознал и еще одно явление, более незаметное и неожиданное.
В нем не было ничего блистательного. Оно разворачивалось на заднем плане, в фоновом шуме и запросто могло бы пройти незамеченным. Возможно, оно вообще было всегда, просто я не обращал внимания.
Как бы то ни было, лишь в этот конкретный момент жизни, в год моего 18-летия, в первые месяцы обучения математике, когда мы подошли к геометрии в высокой размерности, я в полной мере осознал: некоторые абстрактные понятия, которые мне преподавали, вызывали во мне очень смутные впечатления более-менее визуальной природы.