Я понимал, что есть два принципиально разных способа воспринимать образование, которое мы получали, и эти два подхода несовместимы друг с другом.
Первый подход заключается в том, чтобы считать математику видом знания. Математические утверждения – это информация, которую надо знать и уметь воспроизводить. Нужно учить определения, учить теоремы, учить доказательства.
Второй заключается в том, чтобы отказаться учить. Он подходит к математике как к чувственному опыту. Единственная задача математических утверждений – вызывать к жизни мысленные образы, и только эти мысленные образы позволяют понимать. Как только у нас получаются правильные мысленные образы, все остальное становится очевидным.
Эти два подхода несовместимы, потому что подразумевают совершенно разные мысленные действия. Выучить наизусть, согласиться поверить тому, чего не понимаешь, – все это есть только в первом подходе. Во втором мы смотрим на то, чего не понимаем, с подозрением и недоверием: «Даже так? Вот так оно и есть? Невероятно! Но как это возможно? Как мне удается это увидеть?»
До этого момента я инстинктивно следовал второму подходу. В основном получалось. Когда в начальной школе мне объяснили, что такое круг, я тут же сумел увидеть у себя в голове круги. Так я стал отличником по математике. По сути, школа помогла мне лишь облечь в слова вещи, которые мне и так было легко видеть более-менее четко.
Но я приближался к концу этого пути. Теперь школа рассказывала мне о серьезных и глубоких вещах, в которых я ничего не понимал, и моя интуиция была бессильна их вообразить. Я достиг предела своих мыслительных способностей. Тот образ труб потоньше или потолще, возможно, был последним внятным всплеском интуиции. И то мне еще повезло. Ведь честно, на что я мог надеяться с настолько наивными образами?
А без возможности рассчитывать на интуицию я был загнан в угол. У меня не осталось выбора. Настал момент начинать учить.
Но я вполне осознавал, что это влекло за собой. Воспринимать математику как знание означало отказаться от ощущения ее жизни во мне. Отказаться от любви к ней. Отказаться от удовольствия ее понимать.
Прислушаться к диссонансу
Если честно, это был не первый случай, когда математика стала для меня реальной проблемой.
Такое со мной уже случалось в начале средней школы, когда понадобилось использовать буквы для обозначения чисел. «Пусть n – целое число». Но если n – целое число, почему бы не сказать какое? Зачем нагонять туману? У меня возникло впечатление, что я промахнулся мимо цели, ничего не понимаю и вообще недостаточно умен.
Тогда это, к счастью, продлилось недолго. Без особых усилий, просто со временем, я в конце концов смирился с тем, что можно мыслить при помощи букв, то есть оперировать числами, не зная, о каких числах речь. И что в этом весь фокус. Мыслить при помощи букв – это способ оперировать сразу всеми числами. Совершать бесконечное количество умозаключений с помощью конечного количества слов.
Только теперь у меня уже не было времени. Каждую неделю появлялся десяток новых понятий, которые нужно было осмыслить, а у меня не было ни малейшего представления, как уложить их в голове.
Именно в этом контексте, за несколько недель до моего 18-летия, я принял самое фундаментальное решение во всей моей научной карьере и, пожалуй, во всей жизни: вместо того чтобы отгонять глупые идеи и посторонние мысли, я решил принять их и прислушиваться к ним.
Конечно, не было и речи о том, чтобы верить им на слово. Я прекрасно знал, что они неверны. Более того, это было очевидно. Но раз это было настолько очевидно, мог ли я точно сказать, в чем они неверны?
Сегодня, когда я пытаюсь описать эту интеллектуальную методику, я формулирую ее так: я стал прислушиваться к диссонансу между своей интуицией и логикой. В главе 11 я объясню, что конкретно это значит, на примере, который вполне может быть вам понятен.
Теперь, оглядываясь назад, я поражаюсь тому, что мне пришлось принимать это решение в одиночестве, конструируя что-то у себя в уголке, и некому было мне сказать, что так и нужно делать.
Помню, как попытался поговорить об этом с другом – его звали Ксавье, мы вместе изучали математику. Но проблема в том, что мои заботы были настолько оторваны от официальной математики и нашего образования, что я оказался не в состоянии ясно выразиться. У меня не нашлось правильных слов, чтобы рассказать об этих задачах. Понадобились десятки лет, чтобы научиться их излагать.