У меня не было никаких оснований считать, что этот метод сработает – впрочем, не то чтобы я действительно этого ждал. Это был просто дурацкий эксперимент, который, как я полагал, мне очень скоро придется бросить. Я действовал из любопытства, просто чтобы увидеть, обнаружить, в какой именно тупик я упрусь. Мне казалось немыслимым, чтобы это был правильный метод и при этом никто нам об этом не сказал.
И все же я очень быстро убедился, что это работает. Чем больше я размышлял над своими глупыми идеями, тем менее глупыми они становились. Чем больше я сосредотачивался на посторонних мыслях, тем четче они делались. Чем больше я прислушивался к диссонансу между моей интуицией и логикой, тем лучше я был способен записать его словами. Моя интуиция никогда не была совершенной, но постоянно развивалась – без всякого усилия с моей стороны.
За несколько недель мой способ учиться преобразился. Я стал использовать занятия как материал для проверки моей интуиции. Я пытался предсказать, что скажет преподаватель. Большую часть времени у меня не получалось, но так я мог выяснить, где моя интуиция уже работает верно. То, что я понимал, я понимал настолько хорошо, что мог на это опереться и сосредоточиться на других вопросах.
То, что не понимал, я прокручивал в голове, пока не пойму, почему не понимаю. В конце концов именно это позволяло мне понять.
Наша обычная интуиция
Пока в школах математика не будет преподаваться с точки зрения нашей человеческой действительности, у нас будут только самоучки.
Недостаточно заявить, что математика – вопрос интуиции. Еще нужно объяснить, что эта интуиция нам подвластна, и объяснить методы, позволяющие ее развить. Ничто так не пугает, как миф о какой-то математической интуиции, которая якобы имеет особую природу и дарована лишь избранным.
Математическая интуиция – это та же самая интуиция, которой мы пользуемся изо дня в день, но развитая и укрепленная столкновением с языком и логикой. Это то, чем становится наша интуиция, когда мы прекращаем считать, что это дар небес, и обзаводимся способами систематически развивать ее. Мне часто казалось, что математическая работа сродни садоводческой. Пропалываешь, сажаешь, обрезаешь, поливаешь. Кажется, что ничего не растет, но в конце концов констатируешь – что-то все же выросло.
Трудно поверить, что можно оттолкнуться от нашего обычного восприятия пространства и развить его до степени, когда инстинктивно умеешь мыслить в любой размерности. И все же это так.
За нашими ложными верованиями в математический интеллект, за суевериями и запретами прячется глубинное непонимание мощи нашей умственной пластичности и законов, которые правят ею. Это тема следующей главы.
Нежелание математического образования затрагивать эту область личностного развития остается для меня загадкой. Как будто преподаватели не чувствуют себя вправе об этом говорить. Мало кто осмеливается описать свою интуицию простыми словами и признаться в неимоверной наивности своих мысленных образов.
И все же некоторые математики из числа величайших признаются в этом с обескураживающим спокойствием. Ярким примером может служить Пьер Делинь.
Пьер Делинь – необыкновенный математик, самый известный из учеников Гротендика, вплоть до того, что последний однажды сказал о Делине: «Он сильнее меня». В 1978 году он получил Филдсовскую премию (за доказательство знаменитых гипотез Вейля), а в 2013 году – Абелевскую.
В одном интервью 2013 года по случаю вручения Абелевской премии Делиня спросили о его необыкновенной интуиции и способности выработать глубинное понимание абстрактных структур в высокой размерности. Вот что, в частности, он ответил:
«Важно уметь угадать, что верно, а что нет».
«Я не помню доказанные математические утверждения. Я, скорее, стараюсь собрать в уме коллекцию образов. Не один образ. Они все неверны, но по-разному, и я знаю, в чем именно они неверны».
«Образы очень просты. Я могу нарисовать у себя в голове что-нибудь вроде круга в плоскости и прямую, которая движется и смахивает его».
«Это всегда очень простые образы, но собранные воедино».
Математическая интуиция настолько банальна, проста и глупа, что нужно много уверенности в себе, чтобы осмелиться не выбрасывать ее на свалку. Когда ты уже не ребенок, хочется лишь одного – заставить ее замолчать. Именно это чуть не случилось со мной, когда я решил, что должен избавиться от глупых идей и посторонних мыслей.