Математическая работа – это не череда озарений и откровений. Это прежде всего работа по переучиванию, основанная на повторении одних и тех же упражнений в воображении.
Продвижение идет медленно, потому что телу нужно время, чтобы перестроиться. Форсировать этот процесс не стоит, так можно причинить себе вред. Нужно просто соблюдать ритм занятий, сохранять хладнокровие, не сдаваться, даже когда кажется, что прогресса нет. Все равно что посещать логопеда или физиотерапевта – только ты один и занимаешься у себя в голове.
Видеть дальше
Тёрстон намеренно и осознанно развивал способность воображать мир. Постоянно тренируясь совмещать в голове изображения размерности 2, он в конце концов научился видеть в размерности 3.
Но зачем останавливаться на таком прекрасном пути? Он осознал, что, используя тот же метод, может двигаться дальше. Совмещая изображения размерности 3, он научился видеть в размерности 4. Совмещая изображения размерности 4, он научился видеть в размерности 5.
Даже в размерности 3 подход Тёрстона уже позволял ему видеть вещи, которые никто до него видеть не умел. Его теорема геометризации – гипотеза, сформулированная в 1982 году, – относится как раз к размерности 3. Гипотеза – это математическое высказывание, которое считается верным, но мы еще не знаем, как его доказать. Выдвинуть гипотезу – значит почувствовать, что нечто истинно, но не суметь объяснить почему. Это, по сути своей, интуитивное действие, требующее работы воображения.
Гипотеза Тёрстона – это феноменальный прорыв. Она охватывает знаменитую гипотезу Пуанкаре, которая была выдвинута в 1904 году и так долго оставалась недоказанной, что в 2000 году ее включили в список задач тысячелетия – семи математических загадок, считающихся самыми сложными и глубокими, за каждую из которых причитается премия в миллион долларов.
В 2002 году Гриша Перельман сумел доказать гипотезу Тёрстона. Таким образом он решил и гипотезу Пуанкаре. Мы еще вернемся к Перельману и миллиону долларов в главе 17.
Думать, что́ мы видим
Но что имел в виду Тёрстон, когда говорил, что видит в размерностях 4 и 5? Что именно он видел и как следует понимать глагол «видеть»?
Лучший способ ответить на эти вопросы – задать их себе. Что именно мы видим? Что мы имеем в виду, говоря «видеть»?
Используя глагол «видеть» применительно к себе, мы склонны переоценивать его значение. Когда мы глядим перед собой, у нас складывается впечатление прямой связи с миром, словно наши глаза – это волшебное окно, напрямую проделанное в сознании, как будто они дают непосредственный доступ к реальности. Если это и есть смысл, который мы хотим придать глаголу «видеть», нужно быть готовыми к тому, что в таком случае мы никогда не видим по-настоящему, мы лишь думаем, что видим.
То, что мы видим, никогда не является реальностью, это лишь интерпретация мира. Иначе говоря, это реконструкция, порожденная памятью и воображением, на основании необработанных зрительных сигналов, которые мы никогда не осознаём напрямую. В день нашего рождения мы еще не умели видеть не потому, что наши глаза еще не сформировались, просто мозг еще не научился наделять смыслом необработанную информацию, поступившую по зрительному нерву.
Ровно та же способность к реконструкции сейчас позволяет нам воображать несуществующие вещи и создавать впечатление, что мы их видим. Видеть и воображать, что видишь, – не такие уж разные вещи. Вы можете вообразить, что видите муравья размером с лошадь – вот прямо здесь, перед вами. Вы можете его увидеть, описать и даже рассказать о нем кучу всего. Только вот у остальных не будет никакой возможности непосредственно увидеть гигантского муравья, существующего у вас в голове.
Это как с цветом. Красный цвет вызывает у вас совершенно конкретное ощущение. Но что это за ощущение красного цвета у вас в голове? Как узнать, совпадает ли оно с моим? Кстати, возможно, этот вопрос вообще не имеет смысла.
Дальтон и его герань
Людям настолько трудно описать и передать собственные зрительные ощущения, что лишь осенью 1792 года хоть кто-то осознал, что мы не равны в биологическом восприятии цветов: около 8 % мужчин и 0,6 % женщин страдают дальтонизмом.
Как столь огромный и столь легко выявляемый факт мог оставаться незамеченным на протяжении десятков тысяч лет, с незапамятных времен, когда наши предки начали говорить о цветах?