Нужно также отличать Систему 3 от способности нашей Системы 1 обновляться без намеренных действий с нашей стороны. Пластичность нашего мозга объясняется постоянной перестройкой синаптической сети: нейронные связи эволюционируют в ответ на наш опыт. Наши нейроны подобны растительности, способной выпускать ростки и все глубже запускать корни.
Каждый раз, когда мы упражняемся в определенной деятельности, мы приучаем Систему 1 к особенностям этой деятельности. Когда мы пытаемся устоять на доске для виндсерфинга, мы приучаем Систему 1 к суровым реалиям физики и формируем в себе «инстинкт виндсерфинга». В случае Системы 3 мы приучаем Систему 1 к суровым реалиям логической последовательности и формируем в себе инстинкт истины.
Великое недопонимание в преподавании математики происходит оттого, что все видимые проявления математики – повергающий в замешательство язык, непонятные записи, ригидные рассуждения – выглядят порождением вселенной Системы 2.
Неспособные к математике – это те, кто понимает это буквально. Они разочаровываются через несколько минут или берутся за дело с упорством мазохиста без шансов на успех.
А тем временем, втихомолку, способные к математике опираются на Систему 3. Их мысленные образы существуют только у них в голове, они даже не осознают, что работали над их созданием. Они просто по несколько минут в день задавали себе правильные вопросы.
Глава 12
Нет никакой хитрости
Обычный день в США начала 1950-х годов. Обычная семья едет по обычной дороге. Отец за рулем, двое сыновей сидят на заднем сиденье. Чтобы они не ссорились, отец задает им задачи:
«Какова сумма целых чисел от 1 до 100?»
Младшему из братьев пять лет. Через несколько секунд он отвечает: «5000». Отец говорит, что это почти правильно. Мальчик думает еще несколько секунд и дает правильный ответ: «5050».
Этот пятилетний мальчик – Билл Тёрстон. История про него вызывает улыбку у тех, кто видит в ней повторение известного случая с Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855), «королем математики». Пусть даже эта старая история – просто легенда, но она широко известна, и отец Тёрстона, несомненно, о ней слышал.
Гаусс был одним из величайших математиков в истории, одним из тех, кого не колеблясь ставят рядом с Фалесом, Пифагором, Евклидом, Архимедом, Аль-Хорезми, Декартом, Эйлером, Ньютоном, Лейбницем, Риманом, Кантором, Пуанкаре, фон Нейманом, Гротендиком и еще несколькими. Он был настолько блистателен и обладал таким творческим потенциалом, что современники отказывались верить, что его интеллект порожден биологически нормальным человеческим мозгом. В некотором роде он был Альбертом Эйнштейном своего времени.
И закончилось все, кстати, ровно так, как и должно было (абсолютно как с Эйнштейном): когда Гаусс умер, кто-то счел весьма хитроумным изъять его мозг в надежде проникнуть в его секреты. Два века спустя мозг Гаусса так и лежит в банке, бережно хранимый в запасниках Гёттингенского университета. Никто не нашел в нем ничего интересного.
Согласно легенде, в возрасте семи лет маленький Гаусс очень напугал своего школьного учителя. Тот задал классу вычислить сумму целых чисел от 1 до 100, полагая, что так подарит себе добрых 25 минут тишины. Он не предусмотрел, что один из мальчишек ответит через несколько секунд.
Мне было 17 лет, когда преподаватель математики нашего выпускного класса рассказал эту историю, и она сильно впечатлила нас. Мы не понимали, как Гаусс мог посчитать настолько быстро. По сравнению с таким гением мы все чувствовали себя несколько жалко.
Объяснение нашего преподавателя заключалась в том, что здесь есть «хитрость». Мы хотим посчитать сумму целых чисел от 1 до 100, то есть выполнить сложение
1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100.
Хитрость в том, чтобы умножить эту сумму вдвое, дважды посчитав каждое целое число от 1 до 100, и выстроить эту двойную сумму в две строки следующим образом:
1 + 2 + 3 + 4 +… + 97 + 98 + 99 + 100 + 100 + 99 + 98 + 97 +… + 4 + 3 + 2 + 1.
Что за ерунда! Зачем считать эту сумму дважды? Зачем так выстраивать числа? Может, это и странно, но мы в полном праве так сделать. В любом случае каждое число от 1 до 100 появляется здесь дважды. Значит, двойная сумма в два раза больше числа, которое мы хотим найти.
А теперь посмотрите не на строки, а на столбцы. У нас 100 столбцов, и в каждом из них по два числа, сумма которых всегда равна 101. Это может показаться волшебством, но это так. Значит, двойная сумма равна 100 умножить на 101, то есть 10 100. Нужное нам число – половина от этого, то есть 5050.