Не надо стыдиться, если вам понадобится перечитать это рассуждение несколько раз, прежде чем счесть его убедительным. Как и в любом математическом рассуждении, в нем есть что-то странное и пугающее. Пока нам не удается счесть его очевидным, приходится расшифровывать его строчка за строчкой, что требует времени и концентрации.
Этапы рассуждения довольно просты и, по идее, позволят вам прийти к трем выводам.
1. Это верное доказательство факта, что сумма целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
2. Вполне правдоподобно, что кто-то искусный в устном счете может выполнить это рассуждение мысленно за несколько секунд.
3. Такая мысль не могла зародиться в голове семилетнего или, в случае Тёрстона, пятилетнего ребенка.
Во всяком случае такие выводы в 17 лет сделал я сам. Я также заключил, что математика создана не для меня, потому что она предназначена только для этих особых людей, гениев, у которых мозг работает не так, как мой, и может генерировать столь невероятные идеи.
Преподаватель в моем выпускном классе был прекрасным педагогом, я высоко его ценил, и он научил меня очень многому. Но, говоря нам о «хитрости», в тот день он оказал нам плохую услугу.
Нет никакой хитрости. Не было и не будет. Верить в существование хитростей так же токсично, как верить в существование истин, по природе своей контринтуитивных. Это два главных предрассудка в идеологии Системы 2 – вот эта вера, что наша интуиция ничего не стоит и мы должны механически применять методы, которых не понимаем.
Разумеется, бывает так, что что-то происходит и мы не понимаем почему. И даже довольно часто. Но это всегда временная ситуация, которая ждет объяснения.
Верить, что на структурном уровне существуют какие-то хитрости, – значит согласиться с мыслью, что есть вещи, которых мы никогда не поймем, и их нужно выучить наизусть. Путать проверку доказательства строчка за строчкой с его интуитивным пониманием. Вступить в подчиненные отношения с Системой 2. Согласиться на нечестное и унизительное для нас распределение ролей: великие гении находят всякие хитрости, а вот мы годны только на то, чтобы проверить, что сложение верно.
Если все это только для того, чтобы проверить, что сумма целых чисел от 1 до 100 действительно равна 5050, – да плевать на это, откровенно говоря. Нам важно научиться думать как Гаусс и Тёрстон.
Ловушка языка
Чтобы понять, что скрывается за математическими «хитростями», проще всего посмотреть на рецепт бананового кекса, например такой:
Ингредиенты: 4 банана, 4 яйца, 250 г муки, 180 г сливочного масла, 120 г сахара, 1 пакетик ванильного сахара, 1 пакетик разрыхлителя.
1. Разомните бананы вилкой в тарелке и отставьте в сторону.
2. Тщательно перемешайте яйца с сахаром, добавьте муку, затем масло, разрыхлитель и ванильный сахар.
3. Добавьте в смесь бананы.
4. Выпекайте в разогретой до 180 градусов духовке 40–50 минут.
Представьте себе разные этапы рецепта.
● Сначала вы идете в магазин за бананами. Вот они у вас в руке. Вы идете платить на кассу. Видите бананы?
● Вы начинаете этап 1. Теперь бананы в тарелке. У вас в руке вилка, вы собираетесь их размять. Все еще видите бананы?
Между этими двумя этапами вы сменили мысленный образ. Перед тем как разминать бананы, вы мысленно очистили их. За так называемыми хитростями обычно кроется нечто подобное: смена мысленного образа, которая происходит в одно мгновение по «очевидным» причинам, неочевидным для остальных.
Когда хорошо знаком с бананами, очевидно, что их нужно очистить, прежде чем разминать. Если никогда не держал бананы в руках – это перестает быть очевидным. Текст рецептов никогда не охватывает абсолютно все необходимые действия. Всегда не хватает каких-то важных деталей, тех самых пресловутых «хитростей». Вот почему так много людей предпочитают смотреть кулинарные видео, а не читать рецепты.
Бананы знакомы вам с детства. Можно даже сказать, вы с ними в близкой дружбе. Вы изучили их так, чтобы не нуждаться в языке для их описания. Вы знаете о них кучу подробностей, о которых никогда никому не рассказывали. Вам досконально знакомо волокно, проходящее вдоль их мякоти, пусть даже вы не знаете его названия. Это волокно ни разу ни для чего вам не пригодилось, но поразило вас своим видом и свойствами. Еще вы знаете – и ни разу не осмелились в этом признаться, – что ничто на земле не разламывается так мягко и приятно, как мякоть банана. Слово «банан» вызывает у вас не просто мысленный образ, а множество возможных мысленных образов. И вы моментально, без усилий и указаний со стороны, всегда выбираете нужный. Разминать бананы, не очистив их, настолько глупо, что это забавляет вас. Это из серии тех дурацких штук, которые могут проделать только роботы.