Когда Гаусс или Тёрстон хотят сложить целые числа от 1 до 100, они выбирают нужный способ представить эти числа – тот, который облегчит вычисление. Они находят его моментально, без усилий и указаний со стороны. Они умеют активировать свое знание чисел так же, как вы умеете активировать свое знание бананов. Речь идет об одной и той же форме интеллекта.
В математике свершение чуда или возникновение идеи ниоткуда – всегда знак, что вам не хватает какого-то образа. Ваш способ видеть вещи неверен или неполон, и есть вариант лучше, проще и яснее, которого вы еще не знаете, а может быть, и никто не знает. Искать и найти этот правильный способ видеть – вот сама суть математической деятельности. Это основной источник удовольствия от нее.
Каждый раз, когда вам говорят о хитростях, вам приказывают перестать размышлять как раз в тот момент, когда начинается самое интересное.
Ирония здесь в том, что в то время, когда вы завязали близкую дружбу с бананами – в ту далекую пору вашего детства, – вы также завязали близкую дружбу с числами. Именно такая степень близости позволила вам научиться считать.
Эту дружескую связь с числами вы потеряли. Подрастая, вы угодили в то, что я называю ловушкой языка, и именно она мешает вам «увидеть» сумму целых чисел от 1 до 100 так же, как Гаусс и Тёрстон.
Ловушка языка – это убеждение, что достаточно назвать вещи, чтобы они начали существовать, избавив нас от необходимости по-настоящему воображать их.
Это убеждение – типичное проявление идеологии Системы 2. Нам рассказывают, что мы думаем именно словами и ни к чему пытаться выйти за их пределы. Это сжатое изложение весьма проблемно, оно граничит с ложью. Да, называние вещей позволяет упомянуть их, но не вызывает в сознании настолько яркие образы, чтобы можно было мыслить и творить.
«Не думайте о розовом слоне». Эта шутка очень веселит лингвистов, потому что в определенном смысле эта фраза вынуждает нас думать о розовом слоне. Только вот этот способ думать о розовых слонах пассивно, против воли, не поможет вам стать их близким другом и понять их по-настоящему. Постарайтесь представить розового слона в настоящую величину – прямо здесь, перед вами. Дайте себе время рассмотреть его и изучить вблизи. Этот намеренно вызванный образ будет неимоверно глубже, богаче и точнее, чем невнятная картинка, возникшая у вас в уме в начале этого абзаца. Когда вы разрешаете себе отпустить воображение на свободу, у него практически нет пределов.
Именно это усилие воображения позволяет выбраться из ловушки языка и решать математические задачи. Эта деятельность лежит в основе Системы 3. Она подразумевает свободное стремление увидеть, без оговорок и полумер, с полным физическим вовлечением.
Если, читая слова «сумма целых чисел от 1 до 100», вы удовлетворитесь невнятным образом, возникшим в вашем уме, вы ничего не увидите.
Не позволяйте словам убаюкать вас, заставьте себя подумать, что эта сумма физически присутствует перед вами. Заставьте себя вообразить целые числа от 1 до 100 из плоти и крови, воплощенные в реальном мире и смирно выстроившиеся перед вами. Если вам удастся их увидеть и вы дадите себе время как следует понаблюдать за ними, вы найдете способ вычислить их сумму.
Чтобы дать себе шанс догадаться самим, можете сделать перерыв, прежде чем продолжать читать.
Видеть масштабно
В статье «О доказательстве и прогрессе в математике», уже процитированной в главе 6, Тёрстон дает внезапный совет – больше я такого не видел нигде – насчет размера математических объектов.
Представляя их у себя в голове, мы можем выбрать, видеть ли их «маленькими предметами у нас в руках», «конструкциями в человеческий рост» или же «конструкциями, которые поглощают нас и внутри которых мы можем перемещаться». С логической точки зрения это вроде бы не должно совершенно ни на что влиять. Но Тёрстон утверждает, что размер имеет решающее значение:
«Мы склонны эффективнее мыслить более масштабными образами, как будто наш мозг воспринимает более крупные вещи серьезнее и тратит на них больше ресурсов».
А что, если ошибка людей, убежденных, что у них нет никакой геометрической интуиции, просто-напросто в том, что они представляют себе слишком маленькие фигуры, на которых ничего не разглядеть?