1. Вы знаете формулу. Чтобы рассчитать площадь треугольника, нужно умножить основание на высоту и разделить на 2. Здесь основание равно 100, высота равна 100. Перемножив их, мы получаем 10 000, разделив на 2, получаем 5000.
Почти готово. Мы в точности воспроизвели ошибку, которую сделал Тёрстон в пять лет. Хороший признак, мы мыслим верно.
Ошибка в том, что мы забыли половинки кубиков, которые находятся выше диагонали и не были учтены в площади треугольника. Мы забыли 100 половинок, значит, надо добавить 50: и вот мы получили 5050.
2. Вы не знаете формулы. Тем лучше, вы изобретете ее заново. Присмотревшись, вы можете понять, что треугольник – это половина прямоугольника. Если вы возьмете исходную треугольную стопку (обозначена белым) и ее копию (обозначена серым), перевернете копию и поставите ее вверх дном на исходную стопку, получится что-то примерно такое:
У вас получился прямоугольник шириной 100 и высотой 101, а значит, образованный из 100 × 101 = 10 100 кубиков. Значит, в каждом треугольнике 5050 кубиков. Пресловутая «хитрость» с удвоением суммы и ее странной записью оказалась просто способом разложить площадь прямоугольника на два треугольника:
1+ 2 + 3 + 4 +… + 97 + 98 + 99 + 100
+ 100 + 99 + 98 + 97 +… + 4 + 3 + 2 + 1.
Вероятностное кун-фу
Мячик и бита, сумма целых чисел от 1 до 100: я люблю эти детские задачи, потому что их можно рассказать простыми словами, и они позволяют бросить взгляд на пропасть, разделяющую официальную математику, находящуюся в плену языка, и математику тайную, происходящую в голове.
В обоих случаях простого усилия по визуализации достаточно, чтобы сделать очевидным вычисление, которое 99 % людей совершенно не считают очевидным.
Это не всегда так просто. Визуализации не всегда достаточно, и перед нами не стоит задача избавиться от механического дедуктивного рассуждения. Чтобы понимать математику, нужно тренироваться чередовать воображение и язык, интуицию и логику, взгляд вблизи и отстранение, фантазии и расчет.
Кроме того, я не хотел бы создать у вас впечатление, что все математические задачи являются числовыми, а любая интуиция имеет геометрическую природу.
Математические объекты бывают самой различной природы, и их интуитивное понимание мобилизует разные области воображения. В таблице ниже перечислены некоторые основные области математики. Это неполный и упрощенный список, но он позволяет составить первое представление:
У каждой из этих областей свой лексикон и свои формы интуиции. Все равно что они соответствовали бы разным способам использовать наше тело, разным зонам мозга, разным способам фокусировать внимание. Они могут создать впечатление, что при их изучении говорят о разном, но на самом деле эти области лишь дают разные точки зрения на одну и ту же реальность – математическую.
Когда приобщаешься к этому опыту, единство математики порой застает врасплох. И все же зачастую математические открытия – это мосты, переброшенные между двумя разными интуитивными озарениями.
На самом элементарном уровне мы только что сделали именно это: геометрическая формула (площади треугольника или прямоугольника) позволила нам решить задачу по арифметике (сумма целых чисел от 1 до 100).
Завершим эту главу еще более поразительным примером.
Если вам трудно визуализировать целые числа от 1 до 100 в натуральную величину прямо перед собой, можно поступить проще. Вместо того чтобы утруждать себя всеми числами от 1 до 100, возьмите всего одно, причем наугад. Когда вы вытягиваете наугад число между 1 и 100, чему в среднем оно равно?
Если это кажется вам абстрактным, вот конкретный способ это представить. Вы участвуете в телеигре. В мешке лежит 100 чеков: на 1 доллар, на 2 доллара, на 3 доллара, и так далее до 100 долларов. У вас есть право выудить вслепую только один чек. Сколько в среднем вы ожидаете выиграть?
Переформулирую вопрос: если наугад взять число между 1 и 100, чему в среднем оно равно?
Большинство людей не задумываясь отвечают «50». Они находят это очевидным. Но если среднее арифметическое целых чисел от 1 до 100 равно 50, значит, их сумма равна 5000: сумма 100 чисел равна их среднему арифметическому, умноженному на 100. И это для большинства людей тоже очевидно.