Ну и что тогда мешает не задумываясь ответить, что сумма целых чисел от 1 до 100 равна 5000?
(Если ваша интуиция действительно говорит, что среднее арифметическое равно 50, она ошибается. Не смущайтесь, это ровно та же ошибка, что у Тёрстона. На самом деле среднее арифметическое равно 50.5. На этом этапе ошибка в 1 % точно не должна портить вам удовольствие. А вообще 50 равно среднее арифметическое 101 целого числа от 0 до 100.)
Если вы не понимаете, что произошло, и вам кажется абсурдным, что задача мгновенно перестает казаться сложной, – это потому, что вы недооцениваете силу вероятностного мышления. Собрать в голове 5050 кубиков – это работа грузчика, подразумевающая определенное когнитивное усилие. И напротив, вероятностный взгляд – это своего рода кун-фу, помогающее сосредоточить внимание за счет подсознания, не прилагая когнитивного усилия.
Вы уже знали, как вычислить сумму целых чисел от 1 до 100, хотя сами об этом не догадывались.
Понятие среднего арифметического – чисто человеческое изобретение, абстрактный математический концепт, который вам преподали, и вы крепко усвоили его, как и десятичную запись. Вы научились «видеть» средние значения, то есть рассчитывать их, не осознавая этого и не нуждаясь в выполнении расчетов. Если вы хотите активировать собственную интуицию и преобразовать ее в строгое рассуждение, если вы хотите понять, почему среднее значение будет равно 50.5, а не 50, вы должны прислушаться к себе, к своим бессознательным процессам и их механизмам.
Эта работа по самопознанию лежит в основе математической задачи. Она подразумевает, что необходимо деконструировать мысленные образы, которые вы используете неосознанно, и определить, как их можно улучшить. Именно эта работа позволяет вам день за днем усиливать свою интуицию.
Математики манипулируют абстракциями, забывая об их абстрактности, и предпочитают называть их объектами. Они любят говорить, что эти объекты существуют. Говоря это, они не обязательно хотят поучаствовать в старом метафизическом споре о реальности абстракций, который длится со времен Платона. Они всего лишь хотят сказать, что так и надо заниматься математикой: создать дружескую связь с этими объектами, разрешить себе воображать их и манипулировать ими у себя в голове точно так же, как мы манипулируем бананами.
Чтобы подружиться с математическим объектом, нужно долго наблюдать за ним, вдумчиво и расслабленно, с любопытством и непредубежденностью. Нужно дать себе время поиграть с ним и создать связь за пределами языка.
Когда Эйнштейн заявлял, что он «страсть как любопытен», когда Гротендик говорил, как важно, «с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаваться во власть этой младенческой игры целиком», они имели в виду именно это.
Глава 13
Показаться идиотом
В начале учебы я думал, что математическое творчество предназначено для людей умнее меня. Я думал, что математический интеллект – врожденное качество, и каждому досталось определенное его количество. Мне повезло получить больше среднего. Гениям досталось до неприличия больше, чем мне.
Тогда я еще не понял, что математический интеллект – это то, что создаешь сам. Это естественный результат физической деятельности, которой волен заниматься каждый: математического воображения.
Математика – это наука воображения. Между теми, кто разрешает себе воображать математические объекты, наблюдать за ними и ими манипулировать, и теми, кто запрещает себе это делать, возникает разрыв. Со временем этот разрыв становится чудовищным и непотребным – настолько же чудовищным и непотребным, как разрыв между детьми, у которых комната полна игрушек, и детьми, которые не знают, что на свете существуют игрушки.
Вопреки стереотипу, логика не враг воображения. Более того, она его величайший союзник. Истинный враг воображения, который затрудняет понимание и заставляет нас чувствовать себя идиотами, – это всегда страх.
Страх – вот наш истинный предел. Он знаком нам всем, кем бы мы ни были: самыми безнадежными и самыми лучшими, теми, кто находится в начале профессионального пути, и теми, кто становится именитыми профессорами. У всех нас есть слабые стороны, те самые, одно упоминание о которых наполняет нас ужасом, потому что мы ассоциируем их с глубокой тревогой, с уверенностью, что мы не дотягиваем до нужного уровня. Мы цепенеем перед табличкой «только для гениев», загораживающей нам вход, забывая, что мы сами ее и поставили – в тот день, когда заявили себе, что это для нас слишком сложно.