«Эта уверенность есть одна из граней внутреннего расположения, другая сторона которого – открытость сомнению: любопытство, исключающее всякий страх в отношении собственных ошибок, что позволяет постоянно выявлять и исправлять их»[24].
Нахалы, которые обожают, когда им возражают, выпендрежники, которые улыбаются, когда им доказывают их неправоту, догматики, готовые за одну секунду изменить мнение, – этот уникальный психологический настрой я встречал лишь у очень хороших математиков.
Глава 15
Даже не страшно
Если бы мысленные действия математиков были видимыми, в исследовательских лабораториях фасады были бы стеклянными. Прохожие останавливались бы поглазеть на ученых, как на кайтсерферов или скалолазов. А в старших классах математика обогнала бы по популярности скейтборд.
Теряя возможность подражать, мы теряем гораздо больше, чем основной метод обучения. Мы также теряем основной принцип возникновения желания.
В детстве никому не пришлось внушать вам желание кататься на велосипеде. Никому не понадобилось убеждать вас, что это пригодится в жизни или станет хорошим пунктом резюме.
Подобные вопросы никогда не приходили вам в голову. Вы увидели, как другие дети катаются на велосипеде. Вам понравилось, и вы захотели так же.
Физические принципы, управляющие движением велосипеда, известны с 1687 года, когда Исаак Ньютон опубликовал свой фундаментальный труд по физике «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), где сформулировал два великих закона рациональной механики: всемирное тяготение и принцип инерции. Велосипед изобретут лишь два века спустя. Если бы его подарили Ньютону на день рождения – он бы отказался на него сесть. Скорее всего, он бы счел эту идею нелепой и опасной. Он даже принялся бы доказывать вам, что на велосипеде невозможно удержаться в равновесии. Но если бы вы подали ему пример – он был бы весьма заинтригован.
Ужас и мощь
Если бы я мог показать математические действия в моей голове, они бы много кого заинтриговали. Но говорить об этом бесполезно. Я никак не могу их показать. И никак не могу напрямую ими поделиться.
Если нужно внушить желание, я действую иначе. Вместо того чтобы рассказывать, что интересует лично меня, я выбираю более доступные темы, стараясь создать приятные эмоциональные ощущения. В конце концов, мне внушил желание заниматься математикой именно эмоциональный опыт.
Я прекрасно помню свои ощущения, когда впервые увидел кайтсерферов. Я сказал себе, что это невозможно. И в то же время я видел, что это возможно. Я очень долго смотрел на них.
Что-то подобное заинтриговало меня и при встрече с математикой. Она показалась мне слишком трудной, слишком абстрактной, слишком непонятной. Заниматься математикой, казалось, было невозможно. И в то же время это возможно.
Сложность математики, головокружение и ужас, которые она нам внушает, лишь первая часть эмоционального опыта. Вторая – невероятное ощущение могущества и волшебства, исходящее от глубинного понимания предмета, когда в конце концов обнаруживаешь, что это было не просто возможно, а еще и легко.
Более того, это было легко с самого начала, просто ты не замечал.
Каждый, кто обучается математике, повторяет этот двойственный опыт ужаса и мощи. Если вы не любите острые ощущения, математика не для вас.
Несколько уровней бесконечности
Хорошая тема для популяризации математики – та, что позволяет испытать это двойственное ощущение без необходимости обложиться специализированным техническим инструментарием.
В идеале надо отталкиваться от лексикона и интуиции ученика начальной школы. Если я хочу рассказать об ужасе и мощи математики, то предпочитаю начинать с открытий Георга Кантора (1845–1918).
Концепция бесконечности входит в число понятий, которые с давних пор на протяжении множества тысячелетий символизировали немыслимое. У нас было право говорить о бесконечности, но лишь загадочным и напыщенным тоном. Это была такая пафосная манера говорить, не сказав ничего по существу и напустив на себя глубокомысленный вид. Не было поводов говорить о бесконечности прагматично и небрежно, как мы говорим о числе 5 или о прямой, пересекающей окружность в двух точках.
Сказать что-то точное и конкретное о бесконечности было сродни отправлению на Луну – воплощенный пример невозможного. Вплоть до того дня, когда Кантор осознал, что это возможно. Самое невероятное – более чем через столетие после столь зрелищного открытия большинство людей все еще не в курсе этой новости.