Результаты Кантора были так новы и ошеломительны, что ему пришлось столкнуться с недоверием современников. Один влиятельный математик обозвал его «шарлатаном», «ренегатом» и «совратителем юношества». Одна из его статей была отклонена научным журналом с мотивацией, что она написана «с опережением на сто лет».
К концу жизни, измученный полемикой, Кантор погрузился в тяжелую депрессию. Он много раз ездил в санатории восстанавливать психику.
В конце концов его идеи одержали верх. С начала ХХ века понятие множества стало в математике центральным. Для моего поколения вообразить занятия математикой без множеств – все равно что вообразить жизнь без электричества.
Найти узлы
Когда я хочу объяснить, что такое математическое доказательство, зачем оно нужно, и донести тот неповторимый вкус уверенности, выстроенной силой мысли, я люблю использовать примеры из теории узлов.
В математике узел – это способ скрепить два конца веревки. Например, вы можете замкнуть веревку вот так:
Это простой узел. Веревка считается эластичной и неразрушимой: как бы мы ее ни теребили, не развязывая, узел от этого не меняется. Например, вы можете взять веревку, завязанную простым узлом, и потянуть ее, чтобы получить вот это:
Это все равно простой узел, просто он иначе нарисован. Если вы не можете мгновенно увидеть, как перейти от первого рисунка ко второму, и у вас несколько пухнет голова, не волнуйтесь. Это нормально. Если так будет проще, можете воспользоваться настоящей веревкой.
Самый простой способ замкнуть веревку – вот такой:
Это тривиальный узел. В некотором роде это ноль в мире узлов: узел, где нет узла как такового.
Конечно, можно нарисовать тривиальный узел иначе, например так:
Зрительно вполне очевидно, что на самом деле веревка не завязана и перед нами по-прежнему тривиальный узел. Но существуют другие способы нарисовать тривиальный узел, где уже совсем неочевидно, что это он. Например, его можно нарисовать так:
Мысленно распутать этот рисунок без помощи веревки или бумаги и карандаша уже совсем непросто. Несмотря на мою натренированность в манипулировании такими вещами, мне потребовалось немало времени, чтобы понять, что делать. Если у вас получится за несколько минут, без особой тренировки – браво, это очень сильно! Когда получится в первый раз, повторить будет уже намного проще.
Если честно, этот пример близок к пределу моей способности к визуализации. И этот предел остается далеко позади, когда нужно мысленно распутать заведомо более сложный рисунок тривиального узла, например такой:
Не знаю, существуют ли люди, способные мысленно распутать такую штуку и визуально убедиться, что узла на самом деле нет. Сама мысль приводит меня в ужас, голова пухнет от одной попытки такое вообразить.
Именно потому, что очень трудно увидеть, что на двух рисунках изображен один и тот же узел, теория узлов так интересна.
Стоит осознать, что существует бесконечное множество более или менее сложных способов нарисовать один и тот же узел, как становится понятно, что априори ничто не гарантирует, что два по-разному нарисованных узла на самом деле различаются. И возникает первый законный вопрос, например такой:
Действительно ли простой и тривиальный узлы различаются?
Иначе говоря, можете ли вы взять веревку, завязанную на простой узел, покрутить ее, чтобы развязать узел, не разомкнув веревку, и положить на стол просто в форме круга?
Если вы проведете эксперимент, у вас быстро возникнет впечатление, что это невозможно. На основании эксперимента можно сказать, что простой узел – это не то же самое, что тривиальный узел.
Я очень люблю этот пример, так как он наглядно иллюстрирует суть картезианского сомнения и радикального отличия между впечатлением и строгим доказательством.
Стоит и правда провести эксперимент, поиграв с веревкой 10 минут, и задать себе такой вопрос: насколько вы оцениваете свою уверенность, что простой узел действительно отличается от тривиального узла? 50 %? 80 %? 99 %? 99.99 %?