Спрошу даже намного грубее: были бы вы готовы дать руку на отсечение?
Что гарантирует вам, что нет какой-то извилистой тропки, невесть откуда взявшейся хитрости, которая позволит перейти от простого узла к тривиальному?
Это как с нерешаемыми на вид головоломками. Если у вас есть решение, вы уверены, что оно существует. Если нет решения, вам неочевидно, нет его вообще или просто вы его еще не нашли.
У всех нас складывается впечатление, что простой узел отличается от тривиального узла, но существование очень сложных рисунков тривиального узла показывает, что мы не может доверять первому впечатлению. Если веревка выглядит чудовищно запутанной, она необязательно запутана на самом деле.
Вполне реально представить, что можно распутать простой узел и обнаружить тривиальный, но для этого надо последовательно проделать настолько сложные манипуляции, что ни один человек пока не догадался, как это осуществить.
Итак, на первый взгляд кажется невозможным достичь 100 %-ной уверенности. Для этого понадобилось бы изучить бесконечное количество возможных способов завязывать узлы на веревке. Даже если мы провозимся с веревкой миллиард лет, мы опробуем лишь конечное число комбинаций.
Красота математического рассуждения как раз заключается в способности манипулировать столь мимолетными объектами, как узлы, и давать со 100 %-ной уверенностью ответы на вопросы, которые на первый взгляд кажутся абсолютно нерешаемыми.
Говоря «мимолетные объекты», я имею в виду, что это объекты, которые на первый взгляд как будто не могут быть четко выражены с помощью языка. Завязанная веревка – это не целое число. Она не похожа на что-то, что можно зафиксировать в уравнениях. Это нельзя уловить словами.
Пример с простым узлом весьма нагляден. Нам кажется, что веревка завязана, и ее нельзя развязать, не разомкнув. Но мы не можем сказать, в каком именно месте веревки расположен узел. Он находится не в какой-то конкретной точке, куда можно ткнуть пальцем. Мы чувствуем присутствие узла, но никак не можем действительно его найти.
Студентом я был крайне впечатлен, обнаружив, что возможно найти узлы средствами языка и дать полное доказательство результата со 100 %-ной уверенностью.
Теорема: простой узел отличается от тривиального узла.
Основные тезисы доказательства этой теоремы разъяснены в разделе «Для тех, кому нужно больше» в конце книги.
Упаковать апельсины
Заявлять, что все математические доказательства можно простыми словами объяснить неспециалистам, было бы ложью.
Задачи, которые проще всего поставить, иногда сложнее всего решить. Существует множество легко поставленных задач, решать которые мы вообще не умеем. И даже существуют легко поставленные задачи, которые мы умеем решать лишь чудовищно сложным способом, и считается, что простых решений у них нет.
Гипотеза Кеплера – идеальный пример. Она дает ответ на следующий вопрос:
Каков наилучший способ упаковать апельсины?
Великий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571–1630) интуитивно нашел решение еще в 1611 году, но не сумел доказать, что оно верно. Как мы уже видели, утверждение, которое мы считаем истинным, но не можем предоставить строгого доказательства, – это то, что математики называют гипотезой.
В его время апельсины были роскошью. Так что задача была сформулирована о снежинках. Само собой, ответа это не меняет.
Чтобы быть точнее, в вопросе предполагается, что апельсины представляют собой идеальные шары одинакового размера. Если мы попытаемся заполнить этими апельсинами все пространство, какой способ их упаковки позволит обеспечить наибольшую плотность?
В случае кубов такого же размера можно легко заполнить все пространство, не оставив пробелов. Мы получаем плотность в 100 %. С шарами это невозможно.
Продавцы апельсинов любят укладывать их вот так:
При таком расположении плотность составляет около 74.05 %: пространство заполнено апельсинами примерно на 74.05 %, и остается около 25.95 % пустого места между апельсинами. Гипотеза Кеплера утверждает, что это максимальная плотность, и не существует способа упаковать апельсины более плотно.
Интуитивно это кажется вполне правдоподобным. Но не очень понятно, как привести строгое доказательство.
Более двух веков никому не удавалось действительно продвинуться в решении этого вопроса. Первый прорыв осуществил Гаусс: в 1831 году он доказал, что если необходимо упаковать апельсины в соответствии с повторяющейся правильной схемой, как атомы в кристаллической решетке, то способ продавцов апельсинов действительно лучший из возможных.