Это эффектный результат, но он не полностью доказывает гипотезу Кеплера. Априори ничто не позволяет исключить, что существует какой-нибудь очень странный, без всякой закономерности, способ упаковать сто триллионов апельсинов, который будет плотнее любого закономерного способа.
Лично у меня нет ни малейшего представления, как можно подойти к решению такой задачи. Для меня она головокружительна.
После прорыва Гаусса понадобилось подождать еще более полутора веков, прежде чем гипотеза Кеплера была полностью доказана. Первое полное решение в 1998 году дал американский математик Том Хейлз (род. 1958).
Том Хейлз[25]
Таким образом, гипотеза оставалась недоказанной 387 лет. После столь долгого ожидания менять привычки трудно. До сих пор сохраняется склонность использовать выражение «гипотеза Кеплера», имея в виду сам результат, хотя следовало бы скорее говорить о «теореме Хейлза».
Я не в состоянии объяснить ее доказательство ученику начальной школы, как и кому бы то ни было еще, поскольку никогда серьезно ею не занимался, и мне понадобилось бы несколько лет работы, чтобы попытаться ее понять.
В сентябре 1998 года, Том Хейлз отправил свою статью в один из самых престижных математических журналов – Annals of Mathematics. Прежде чем научную статью принимают к публикации, ее обычно направляют анонимному рецензенту, который выносит заключение о ее научной ценности. Доказательство Хейлза было настолько сложным, что Annals of Mathematics поручил задачу по его оценке комитету из двенадцати рецензентов.
Понадобилось даже провести несколько международных конференций с единственной целью – попытаться понять доказательство. Через четыре года председатель комитета рецензентов заявил, что им удалось «на 99 % убедиться» в научной ценности доказательства. Статья была наконец принята в печать в августе 2005 года, почти через семь лет после подачи.
Особенность доказательства Хейлза в том, что оно частично опирается на общее математическое рассуждение для людей, а частично – на расчеты, выполненные компьютером, чтобы изучить тысячи специфических конфигураций, которые общее рассуждение определяет как возможные исключения. Именно эта смесь глубоких математических размышлений и тяжеловесных компьютерных расчетов делает доказательство настолько трудным. На сегодняшний день никто из людей не способен доказать гипотезу Кеплера одной лишь силой мысли.
Гипотеза Кеплера касается упаковки шаров в размерности 3, но вопрос об оптимальной упаковке шаров может быть поставлен в любой размерности. Как мы упоминали в главе 9, можно заниматься геометрией в размерности n при любом целом n.
В размерности 2 задачу решить достаточно просто. Шар размерности 2 – это окружность. Таким образом, задача касается способа наиболее плотно выложить монеты на столе. Оптимальное решение выглядит так:
Надо заметить, что этот результат гораздо проще доказать, чем вариант в размерности 3.
Ничто не запрещает попытаться взглянуть за пределы размерности 3. Если вы никогда не занимались геометрией в какой-либо размерности, мысль о том, что находятся достаточно отважные люди, которые берутся за такое, неизбежно внушает робость.
Когда задаче нужно почти 400 лет, чтобы нашлось решение в размерности 3, напрашивается вывод, что придется немало подождать, прежде чем она будет решена в более высокой размерности.
В размерности 4 ответ до сих пор неизвестен. Неизвестен он и в размерностях 5, 6 и 7.
Внезапные и неожиданные результаты получила в 2016 году украинская ученая-математик Марина Вязовская (род. 1984). Она начала искать решение варианта в размерности 8 благодаря новым и очень изящным методам. Через три месяца она использовала те же методы, чтобы вместе с четырьмя соавторами решить задачу в размерности 24.
Марина Вязовская[26]
Это единственные размерности выше 3, для которых известен ответ.
Очень странно осознавать, что мы умеем решать эту задачу в размерностях 8 и 24, а в размерности 4 или 5 – нет. Этому есть объяснение: в размерностях 8 и 24 происходят необыкновенные явления, порождающие невероятно плотные и гармоничные способы упаковки шаров. В размерности 24 упаковка настолько плотна, что каждый шар контактирует со 196 560 соседними шарами.