На первый взгляд в проблеме трех тел нет ничего особенного. Можно взять, например, Солнце, Землю и Луну — три тела с взаимным гравитационным притяжением. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна, в свою очередь, — вокруг Земли. Решение кажется элементарным. Однако наше описание очень сильно упрощено по сравнению с тем, что происходит в действительности. Луна притягивается не только Землей, но и Солнцем; кроме того, сила солнечного притяжения меняется в зависимости от положения тел.
Земля, в свою очередь, испытывает притяжение не только Солнца, но и Луны. Хотя при первом приближении можно считать влияние Луны незначительным, но если мы хотим найти точные траектории движения, этого делать нельзя.
* * *
АНРИ ПУАНКАРЕ (1854–1912)
Этот французский физик и математик внес огромный вклад в обе науки. Кроме того, что он был первооткрывателем детерминированного хаоса, Пуанкаре первым изучил свойства уравнений Гамильтона в качественном виде, получив огромное количество данных о поведении их решений.
Пуанкаре также был ключевой фигурой в развитии топологии, изучающей характеристики форм и пространств, которые остаются постоянными после деформации. Выдвинутая им гипотеза о свойствах сферы была доказана всего лишь десять лет назад. Кроме работ в области математики, Пуанкаре был одним из авторов специальной теории относительности и получил верные преобразования пространственно-временных координат еще до того, как Эйнштейн сформулировал свою теорию. Поэтому наиболее общие преобразования координат в релятивизме называются преобразованиями Пуанкаре.
Ученый не ограничивался математикой, а был еще и горным инженером и в течение жизни работал над различными инженерными проектами, такими как развитие сети французских железных дорог.
* * *
В 1860 году, в честь дня рождения короля Швеции и Норвегии Оскара II (1829–1907), был проведен конкурс, посвященный решению проблемы трех тел. Победившая статья должна была быть напечатана в математическом журнале под патронатом самого короля.
Пуанкаре, который уже тогда был известным математиком, представил статью с возможным решением и выиграл конкурс. Однако незадолго до публикации в его математических рассуждениях обнаружилась важная ошибка, и Пуанкаре вынужден был исправить ее, добавив сотню страниц к оригиналу. И все же конечный результат, хотя и содержал революционное открытие, не решал проблему. Пуанкаре удалось доказать, что невозможно найти ее аналитическое решение, то есть можно решить проблему трех тел с помощью компьютера, используя приближения, но не существует точной математической формулировки, чтобы это решение описать.
Ученый изучал различные возможные орбиты в фазовом пространстве и сделал важнейшее открытие: минимальные различия в начальном положении трех тел дают огромные расхождения в их конечном положении. То есть похожие начальные условия порождают абсолютно разные орбиты. При одной и той же отправной точке может получиться так, что одно из тел отлетит вдаль или будет описывать непериодические случайные орбиты. При данных начальных положениях и импульсах спрогнозировать последующее поведение трех тел невозможно. Сегодня это называется чувствительностью к начальным условиям и является одним из необходимых условий хаоса.
Чувствительность к начальным условиям могла объяснить явления, которые, как казалось до последнего времени, противоречат ньютоновой механике. Если Вселенная представляет собой отлаженный механизм, в ней нет места случайным фактам: когда мы подбрасываем игральный кубик, результат предопределен и может быть предсказан с помощью уравнений Гамильтона. Однако кубик — это система, чувствительная к начальным условиям, так что наименьшее отклонение от начальной скорости и положения ведет к совершенно другому результату. При таком подходе случайность — это только проявление этого свойства, общего для сложных систем, в которых больше одной частицы, как в случае с газами.
Открытие Пуанкаре, с одной стороны, радует, потому что объясняет такое явление, как случайность, в рамках законов физики, но с другой стороны — обескураживает: чувствительность к начальным условиям делает поведение некоторых систем непредсказуемым. Это крайне неудобно, особенно если учесть, что любая физическая система состоит из большого числа взаимно притягивающихся и взаимно отталкивающихся тел, таких как атомы или электроны, и, следовательно, любая система превращается в потенциально непредсказуемую.