Глава 3
Как предсказать непредсказуемое
Газ — это агрегатное состояние, представляющее собой тысячи миллионов молекул, которые движутся хаотично. Поскольку каждая молекула подчиняется законам Ньютона и, соответственно, уравнениям Гамильтона, можно было бы рассчитать траекторию каждой из них. Но на практике это не так. Более того, в таких вычислениях нет необходимости, потому что при наблюдении газа невозможно увидеть отдельные молекулы. Что действительно можно измерить, так это его давление, температуру и объем. Следовательно, математическая теория, описывающая изменение этих трех характеристик, смогла бы с достаточной степенью точности описать и поведение газа.
Такая теория была разработана австрийским физиком Людвигом Больцманом в конце XIX века, когда он доказал, что макроскопические характеристики газа можно вывести исходя из распределения скоростей его молекул. То есть достаточно знать процент молекул газа с каждой возможной скоростью, чтобы предсказать его поведение. Работа Больцмана была направлена на то, чтобы найти это распределение скоростей для газа в состоянии равновесия, то есть газов, макроскопические свойства которых ощутимым образом не изменяются. Ученый открыл, что скорости молекул в газе распределяются следующим образом.
Газ с большим пиком слева соответствует большим температурам.
Чтобы сделать это, ему пришлось воспользоваться несколькими математическими теориями. Одни из них, такие как механика Гамильтона, были хорошо приняты в физическом сообществе, но другие, такие как вероятность и статистика, были совершенно новыми. Ниже мы опишем путь, который привел Больцмана к его закону и математическому обоснованию предыдущего графика.
Вспомним, что состояние системы в определенный момент времени может быть выражено лишь одной точкой в фазовом пространстве. Эта точка находится в пространстве из 6N измерений, где 3N используются для уточнения положения каждой из N частиц, а другие 3N — для импульсов. Если позволить системе развиваться, точка будет двигаться по фазовому пространству, описывая некоторую траекторию.
В случае с газом в самом начале мы сталкиваемся с проблемой: мы не знаем, в какой точке фазового пространства он находится. Мы знаем только его давление, объем и температуру, но не положение и не импульс его частиц. Часто мы даже не можем быть уверены в том, сколько их. Как же получить какой-либо прогноз поведения системы, о которой мы знаем так мало?
Для начала оценим наше незнание количественно: возьмем бутылку, наполненную кислородом. Если вместимость бутылки — один литр, то в ней содержится приблизительно 2,6·1022 молекул, что означает, что для того, чтобы полностью описать их состояние, нам потребуется это количество чисел, умноженное на шесть, то есть 1,6·1023 (2,6·1022·6 ~= 1,6·1023). Предположим, что мы знаем температуру, объем и давление газа, то есть у нас есть три характеристики. Таким образом процент информации, которой мы владеем, в сравнении с информацией, теоретически нам необходимой, равен:
Неужели с этим смехотворным количеством информации мы можем прогнозировать состояние содержимого бутылки в каждый последующий момент? Хотя это и кажется невероятным, но это так.
Чтобы понять, каким образом мы это делаем, рассмотрим, какую информацию о внутреннем состоянии газа дают нам его давление, объем и температура.
Объем указывает нам, в какой области пространства находятся наши молекулы: нет ни одной молекулы кислорода вне бутылки, что помогает нам ограничить точки фазового пространства, в которых может находиться наш газ. Мы знаем, что возможные положения ограничены объемом сосуда. Понять роль, которую играет давление, несколько сложнее. Давление газа — это сила, которую он оказывает на сосуд, содержащий его, на единицу площади.
Представим себе, что газ — это джинн, заточенный в лампе. Чем меньше лампа и чем больше джинн борется за освобождение, тем большее давление он применяет. Чем больше давление, тем сложнее сдерживать газ; и если оно превысит определенные показатели, сосуд лопнет.
Но как связано давление с частицами, образующими газ? Если это вещество образовано огромным числом молекул, которые движутся хаотично, как объяснить эту силу, воздействующую на стенки сосуда? Давление — это результат совокупного действия миллионов молекул газа. Каждая молекула движется приблизительно по прямой до столкновения со стенкой; накопление этих столкновений и вызывает давление. Каждое столкновение воздействует на сосуд с определенной силой, и хотя удар одной молекулы не дает ощутимого эффекта, сотни миллионов молекул способны создать значительную силу.