Выбрать главу

То есть ни частица 1, ни частица 2 не могут выйти за пределы области, их ограничивающей.

Поскольку мы знаем температуру и давление частиц, мы также знаем, чему равна их средняя скорость. Чтобы вычислить ее, сложим скорость обеих частиц и разделим ее на два. Выражаясь математически, если обозначает среднюю скорость, v1 — скорость первой частицы, a v2 — скорость второй, получается, что:

Для частиц мы бы сложили скорости их всех и разделили на N, то есть

Мы считаем, что все скорости положительны и все частицы движутся в одном направлении. Теперь предположим, что средняя скорость обеих частиц — 2 м/с. Может быть так, что обе движутся со скоростью 2 м/с; что одна движется со скоростью 3 м/с, а другая — 1 м/с; что одна абсолютно неподвижна, а другая движется со скоростью 4 м/с. Единственный невозможный вариант — так это чтобы какая-либо из двух частиц двигалась со скоростью больше 4 м/с, поскольку тогда средняя скорость была бы больше 2.

Можно сделать вывод, что если известна средняя скорость, область в фазовом пространстве, в которой может двигаться система, снова ограничена. В этом случае скорость любой из частиц не может быть больше четырех; кроме того, скорость одной из частиц определяет скорость другой. Это можно представить следующим образом (скорость первой частицы представлена горизонтально, скорость второй — вертикально).

Как можно заметить, возможные точки ограничены прямой линией. Если мы совместим этот результат с полученным ранее, то увидим, что все возможные точки ограничены некоторой областью фазового пространства, которое в этом случае имеет четыре измерения, по два для каждой частицы.

Описанная ситуация справедлива для любого числа частиц. Объем, температура и давление определяют, в какой области фазового пространства находится газ. Любая из точек этой области порождает значения для характеристик газа — давления, объема и температуры. Итак, при изучении газа мы можем предположить, что наша система начинается в одной из этих точек, но не можем выяснить, в какой именно.

Что произойдет, если мы позволим системе меняться? Останутся ли температура, объем и давление теми же? И если нет, то как они будут меняться? На эти вопросы можно ответить не всегда. Порой попытка найти ответ заставляет обратиться к физике неравновесных систем, о которой мы расскажем в следующей главе.

Понятие совокупности

Поскольку мы не способны определить даже начальное положение нашего газа в фазовом пространстве, нам нужна стратегия, которая позволила бы нам описать его изменение на основании трех величин, которые мы можем измерить: давления, объема и температуры. Для этого мы можем задать вопрос, что происходит со всеми системами, которые находятся в ограниченной области фазового пространства с указанными характеристиками. Кажется нелогичным считать, что описать изменение тысяч миллионов систем легче, чем сделать это для одной. Но здесь в игру вступают теория вероятностей и статистика.

Возьмем груз, привязанный к пружине, как показано на рисунке.

Если мы знаем общую энергию частицы и область в пространстве, в которой она находится, можно выяснить, какие точки в фазовом пространстве совместимы с этими условиями. В нашем случае они распределяются таким образом.

Точки фазового пространства для объекта, привязанного к пружине.

Результат вполне логичен, поскольку траектория частицы в фазовом пространстве — это именно эллипс, как мы видели в главе 2. Если мы позволим нашей системе меняться, она пройдет через все возможные точки в фазовом пространстве, совместимые с этой средней скоростью и энергией.

В целом множество точек в пространстве, совместимых с некоторой температурой, давлением и объемом, будет иметь подобный вид, хоть и в пространстве с большим количеством измерений.

Возможные точки в фазовом пространстве. Любая из них может представлять газ.

Наша система могла бы быть представлена любой из этих точек. Возможно, что при изменении состояния газ пройдет через них, и мы этого не осознаем, поскольку способны измерить только макроскопические величины. Таким образом, имеет смысл изучать поведение каждой системы в рамках интересующей нас области.

Множество систем, совместимых с макроскопическими переменными, которые мы измерили, называется совокупностью. Следующие параграфы посвящены изучению изменения нашей совокупности, которая является не чем иным, как всеми системами, которые могли бы порождаться измеряемыми величинами.