Потом жонглёры перестроились. Теперь у одного на палке было три кольца, у другого — шесть, у третьего опять ничего. Снова заиграла музыка, замелькали кольца.
И опять у третьего пекаря на палке — девять бубликов, а у других — ничего.
— Чистая работа, — сказал Дэ, — ни одно колечко не упало.
— Работа-то чистая, но при чём здесь умножение степеней? — спросил я. — Не понимаю.
— А я понимаю, — похвасталась Таня. — При перемножении степеней показатели надо складывать:
с3·с6 = с3+6 = с9.
— Совершенно правильно, — подтвердил Дэ. — Число колец на палке обозначает показатель степени.
— Пусть, — сказал я, — а мне всё равно непонятно.
— Поглядите на поле, — предложил Дэ, — тогда уж обязательно поймёте.
Я поглядел и увидел, что два Цэ (у одного на палке три кольца, у другого — шесть) стали рядом и между ними появился знак умножения — точка. И тут на поле выбежали ещё девять Цэ. У них на палках было только по одному кольцу. Трое из них встали на место Цэ с тремя кольцами, а шестеро заменили Цэ с шестью кольцами. Тогда пекарь с пустой палкой отделился от них знаком равенства и стал следом за ними.
А первые два пекаря отдали ему свои кольца, и получилось вот что: На этот раз и вправду всё было понятно: Цэ в третьей степени, умноженное на Цэ в шестой, — это всё равно что Цэ, умноженное само на себя девять раз, или попросту Цэ в девятой степени.
Потом началось деление степеней. На поле выкатили двухэтажную тележку. На верхнюю площадку вскочил жонглёр с тремя кольцами на палке — числитель, на нижнюю — жонглёр с двумя кольцами — знаменатель. И вдруг Цэ стали лопать свои бублики: числитель съест один, и знаменатель — один, числитель — один, и знаменатель — один… Когда Цэ-знаменатель съел все свои бублики, он исчез. На площадке осталась только его палка.
А Цэ-числитель — у него на палке ещё болтался один бублик — продолжал стоять наверху как ни в чём не бывало.
— Ясно, — сказал Олег. — Деление — действие, обратное умножению. Значит, показатели степеней надо при этом не складывать, а вычитать.
— Верно! — поддержала Таня. — Из трёх бубликов отняли два. В знаменателе очутилась палка-единица. А в числителе — Цэ с одним бубликом, то есть Цэ в первой степени.
— Первая степень не пишется, — вспомнил я. — Стало быть, просто Цэ:
— Вот вам и частное от деления двух степеней, — пояснил Дэ. — Посмотрим теперь, что будет, если Цэ в квадрате разделить на Цэ в кубе.
Теперь на верхней площадке стоял Цэ-числитель с двумя бубликами, а на нижней Цэ-знаменатель с тремя. Опять они принялись уплетать, но теперь уже без бубликов оказался Цэ-числитель. Он исчез, оставив на площадке свою палку. А Цэ-знаменатель, у которого оставался один бублик, продолжал стоять на площадке.
— Видите, — сказал Дэ, — частное от деления равно единице, делённой на Цэ, или одной цэтой, как у нас говорят.
— Позвольте, — вмешался Олег, — при делении степеней показатели вычитаются. Значит, это можно изобразить так:
— Ой! — испугалась Таня. — Получилась отрицательная степень!
— Вполне законно, — возразил Дэ. — Одна цэтая — это то же самое, что Цэ в минус первой степени.
Вон оно что! Выходит, если целое число возвести в отрицательную степень, оно превращается в дробь:
и так далее.
Слышишь, Нулик? Ты, помнится, хотел знать, отчего гирька твоего силомера не желала подниматься выше единицы? Вот тебе и ответ. Возвести пять в минус вторую степень — всё равно что возвести одну пятую в плюс вторую степень:
Иначе и быть не может. Ведь у отрицательных чисел всё наоборот! И чем большее число возводишь в отрицательную степень, тем меньше получается дробь. Потому-то тысяча, возведённая в минус третью степень, оказалась равной одной миллиардной:
А теперь слушай дальше. В числителе и знаменателе очутились Цэ с тремя бубликами.
Каждый Цэ съел свои бублики и скрылся. На площадках остались только их палки.
— Вот так фокус! — не удержался я.
— Ну что вы! — скромно сказал Дэ. — Это просто деление двух одинаковых степеней с равными основаниями. И получается при этом единица, делённая на единицу.