— М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ всё равно получится положительный. Уж я-то знаю!
— Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
— Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно?
— Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится всё та же Нулевая станция.
— Раз у вас есть Нулевая станция, значит, есть положительные и отрицательные числа?
— Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое — знаком минус.
— Но как же мнимые числа отличают от действительных?
— С помощью буквы i:
2i, 5i, −8i, −12i.
— Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
— Конечно.
— А где же ваш коэффициент? — ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо ещё, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
— Мой коэффициент — единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
— Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чём здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идёт по прямой, а карусель-то кружится?
— Вы отчасти правы, — ответила Мнимая Единичка. — Правила движения у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа:
2i+Зi=5i;
8i−15i= −7i,
или вот еще ну и конечно:
5i−5i=0,
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело — умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре — арена, её под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах её укреплены таблички
Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички
На пересечении дорог, в центре арены, — Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на неё (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С неё легко соскочила Мнимая Единица с зелёным зонтиком. Вместо неё на круг против таблички
стала Мнимая Единица с жёлтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
— К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички
и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу. Возле таблички
она снова стала Мни
мой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой
и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке
Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и всё началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и превращалась.
— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?
— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы:
Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?